Теорема Ферма в действительных числах Если обозначить буквами $a,b,c$ действительные числа, а буквами $A,B,C$ натуральные числа, то, по общепринятому в математике положению, уравнение Ферма можно записать как в виде равенства, так и в виде неравенства: (R) $a^n+b^n=c^n$ (N) $A^n+B^n≠C^n$ Справедливость уравнения (R) постулируется. Справедливость уравнения (N) доказана. Доказательство уравнения (R). Действительные корни уравнения (R) должны удовлетворять условию: (1) $a^2+b^2>c^2$ Умножаем обе части неравенства (1) на число $a>0$: (2) $a^3+ab^2>ac^2$ Поскольку $(c^2-b^2)>0$, всегда существует такое действительное число $x>0$, с помощью которого неравенство (2) можно превратить в равенство (3): (3) $a^3+ab^2=ac^2+x(c^2-b^2)$ После преобразований приходим к уравнению (4): (4) $a^3+b^2 (a+x)=c^2 (a+x)$ Представим число $a$ в виде $a=(a+x)-x$: (5) $[(a+x)-x]^3+b^2 (a+x)=c^2 (a+x)$ Возводим квадратную скобку в куб: (6) $(a+x)^3-3(a+x)^2 x+3(a+x) x^2-x^3+b^2 (a+x)=c^2 (a+x)$ Делим уравнение (6) на $(a+x)$: $(a+x)^2-3(a+x)x+3x^2-\frac{x^3}{a+x}+b^2=c^2$ Раскрываем скобки: $a^2+2xa+x^2-3ax-3x^2+3x^2-\frac{x^3}{a+x}+b^2=c^2$ $a^2+x^2-xa-\frac{x^3}{a+x}+b^2=c^2$ Условие (1) требует следующего неравенства: $x^2-xa>\frac{x^3}{a+x}$ $x-a>\frac{x^2}{a+x}$ Умножаем обе части данного неравенства на $(a+x)>0$ и применяем формулу сокращённого умножения для разности квадратов: $x^2-a^2>x^2$ $-a^2>0$ Вывод. Поскольку условие (1) невыполнимо для корней уравнения (R), теорема Ферма справедлива для всех действительных чисел.http://www.mathforum.ru/forum/read/1/104132/104132/#104132Tue, 17 Mar 2026 09:10:04 +0300 Phorum 5.2.10 http://www.mathforum.ru/forum/read/1/104132/104213/#104213 Исправлениеhttp://www.mathforum.ru/forum/read/1/104132/104213/#104213икса из стартового топика на иксок получше.

$a^2+b^2=c^2+x(c^2-b^2)$

После преобразований приходим к рабочему уравнению:

$a^2+b^2 (x+1)=c^2 (x+1)$

В данном случае мы складываем площади и объёмы, чего делать человеку разумному просто уже неприлично, если учесть, какое отвратительное тысячелетие наступило в науке. Во избежание очередного конфуза, необходимо домножить первый член рабочего уравнения ну хотя бы на единицу, чтобы обеспечить баланс между да-числами и не-числами:

$a^2×1+b^2 (x+1)=c^2 (x+1)$

Вот теперь правильно, остаётся лишь выяснить, чему эта единица равна.

Составляем формулу для икса:

$x=\frac{a^2}{c^2-b^2}-1$

Выводим отсюда значение единицы и подставляем её в рабочее уравнение:

$a^2 (\frac{a^2}{c^2-b^2}-x)+b^2 (x+1)=c^2 (x+1)$

В какую бы степень единицу ни возводить, ничего от этого не изменится. Если, конечно, это действительно единица:

$a^2 (\frac{a^2}{c^2-b^2}-x)^2+b^2 (x+1)=c^2 (x+1)$

$a^2 (\frac{a^2}{c^2-b^2}-x)^3+b^2 (x+1)=c^2 (x+1)$

Сохранение равенства всех этих уравнений возможно только при $x=0$:

$a^2+b^2=c^2$

Это значит, что условие (1) невыполнимо ни для каких из тех чисел, которые в математике называются действительными, потому что на самом деле, если строить теорию правильно, действительные числа (да-числа) — это целые положительные, а недействительные числа (не-числа) — это целые отрицательные. Впрочем, тут много ещё нюансов, говорить о которых, судя по печальному опыту, всё ещё рановато. Себе дороже. Homo sapiens пока не созрел.]]> spirin Высшая математикаSun, 12 Sep 2021 20:50:40 +0300 http://www.mathforum.ru/forum/read/1/104132/104173/#104173 Ошибки и решение.http://www.mathforum.ru/forum/read/1/104132/104173/#104173Это метод исключения несуществующих решений из всего множества решений, конечно если они есть.]]> alexx223344 Высшая математикаSat, 11 Sep 2021 10:39:53 +0300 http://www.mathforum.ru/forum/read/1/104132/104171/#104171 qwehttp://www.mathforum.ru/forum/read/1/104132/104171/#104171 spirin Высшая математикаSat, 11 Sep 2021 07:14:19 +0300 http://www.mathforum.ru/forum/read/1/104132/104157/#104157 qwehttp://www.mathforum.ru/forum/read/1/104132/104157/#104157$x>a$, сейчас поищу. Думаю, если вы захотите, можете и сами убедиться в невозможности такого соотношения.]]> spirin Высшая математикаFri, 10 Sep 2021 17:44:53 +0300 http://www.mathforum.ru/forum/read/1/104132/104156/#104156 .http://www.mathforum.ru/forum/read/1/104132/104156/#104156
Цитата
spirin
Цитата
r-aax
Что Вас удивляет?
Стало быть, $x>a$?

Да это не важно, все равно $x^2 - xa - \frac{x^3}{a + x} < 0$, и противоречия нет.]]> r-aax Высшая математикаFri, 10 Sep 2021 17:28:25 +0300 http://www.mathforum.ru/forum/read/1/104132/104155/#104155 qwehttp://www.mathforum.ru/forum/read/1/104132/104155/#104155
Цитата
r-aax
Что Вас удивляет?
Стало быть, $x>a$?]]> spirin Высшая математикаFri, 10 Sep 2021 16:37:23 +0300 http://www.mathforum.ru/forum/read/1/104132/104154/#104154 .http://www.mathforum.ru/forum/read/1/104132/104154/#104154$a^2 + b^2 + x^2 - xa - \frac{x^3}{a+x} = c^2$
и $x^2 - xa - \frac{x^3}{a + x} < 0$,
то $a^2 + b^2 > c^2$.
Что Вас удивляет?]]> r-aax Высшая математикаFri, 10 Sep 2021 15:51:58 +0300 http://www.mathforum.ru/forum/read/1/104132/104153/#104153 ййhttp://www.mathforum.ru/forum/read/1/104132/104153/#104153
Цитата
r-aax
И именно поэтому $a^2+b^2>c^2$. Так что все в порядке.
Кажется, я чего-то не понимаю. Сумма двух отрицательных чисел может быть положительной?]]> spirin Высшая математикаFri, 10 Sep 2021 15:38:48 +0300 http://www.mathforum.ru/forum/read/1/104132/104151/#104151 .http://www.mathforum.ru/forum/read/1/104132/104151/#104151
Цитата
spirin
Допустим, $x<a$. Тогда $x^2-xa<0$. Дробь в уравнении всегда отрицательна, поскольку перед ней стоит знак «минус». Но тогда выходит, что $a^2+b^2<c^2$, а это противоречит условию (1).

Вы опять перепутали знак.
Да, $x^2-xa<0$.
Да, $-\frac{x^3}{a + x} < 0$.
И именно поэтому $a^2+b^2>c^2$. Так что все в порядке.]]> r-aax Высшая математикаFri, 10 Sep 2021 14:00:42 +0300 http://www.mathforum.ru/forum/read/1/104132/104150/#104150 qwehttp://www.mathforum.ru/forum/read/1/104132/104150/#104150
Цитата
r-aax
Вот с этого места поподробнее.
$a^2+x^2-xa-\frac{x^3}{a+x}+b^2=c^2$

Допустим, $x<a$. Тогда $x^2-xa<0$. Дробь в уравнении всегда отрицательна, поскольку перед ней стоит знак «минус». Но тогда выходит, что $a^2+b^2<c^2$, а это противоречит условию (1).

Допустим, $x>a$. Тогда $x^2-xa>0$. Условие (1) требует, чтобы результат сложения данного положительного выражения с отрицательной дробью был положительным:

$x^2-xa>\frac{x^3}{a+x}$

Отсюда следует $-a^2>0$, что невозможно.

Остаётся, таким образом, последний вариант: $x=a$.]]> spirin Высшая математикаFri, 10 Sep 2021 13:50:25 +0300 http://www.mathforum.ru/forum/read/1/104132/104146/#104146 .http://www.mathforum.ru/forum/read/1/104132/104146/#104146
$x^2-xa<\frac{x^3}{a+x}$

Вот с этого места поподробнее.]]> r-aax Высшая математикаFri, 10 Sep 2021 12:50:48 +0300 http://www.mathforum.ru/forum/read/1/104132/104145/#104145 qwehttp://www.mathforum.ru/forum/read/1/104132/104145/#104145
Цитата
r-aax
Что из этого следует?
Из этого следует, что два неравенства, вытекающие из одного и того же уравнения, противоречат друг другу.
Остаётся, таким образом, один возможный вариант: $a=x$. Я его не приводил ввиду простоты опровержения, но если вы продемонстрируете такую возможность, это должно быть интересно.]]> spirin Высшая математикаFri, 10 Sep 2021 12:43:12 +0300 http://www.mathforum.ru/forum/read/1/104132/104138/#104138 .http://www.mathforum.ru/forum/read/1/104132/104138/#104138
Вы пишете:

Цитата
spirin
Условие (1) требует следующего неравенства:

$x^2-xa>\frac{x^3}{a+x}$

А должно быть:

Условие (1) требует следующего неравенства:

$x^2-xa<\frac{x^3}{a+x}$

Что из этого следует?]]> r-aax Высшая математикаFri, 10 Sep 2021 11:41:17 +0300 http://www.mathforum.ru/forum/read/1/104132/104135/#104135 О знакеhttp://www.mathforum.ru/forum/read/1/104132/104135/#104135
Цитата
r-aax
[Знак другой. Должно быть "<".
Но тогда получается, что $x<a$, однако из последнего уравнения следует обратный вывод:

$a^2+x(x-a)-\frac{x^3}{a+x}+b^2=c^2$

Отсюда ясно, что $x>a$, в противном случае условие (1) заведомо нарушено.]]> spirin Высшая математикаFri, 10 Sep 2021 10:48:58 +0300 http://www.mathforum.ru/forum/read/1/104132/104133/#104133 .http://www.mathforum.ru/forum/read/1/104132/104133/#104133
Цитата
spirin
Условие (1) требует следующего неравенства:

$x^2-xa>\frac{x^3}{a+x}$

Знак другой. Должно быть "<".]]> r-aax Высшая математикаFri, 10 Sep 2021 10:06:26 +0300 http://www.mathforum.ru/forum/read/1/104132/104132/#104132 Теорема Ферма в действительных числахhttp://www.mathforum.ru/forum/read/1/104132/104132/#104132$a,b,c$ действительные числа, а буквами $A,B,C$ натуральные числа, то, по общепринятому в математике положению, уравнение Ферма можно записать как в виде равенства, так и в виде неравенства:

(R) $a^n+b^n=c^n$

(N) $A^n+B^n≠C^n$

Справедливость уравнения (R) постулируется.

Справедливость уравнения (N) доказана.

Доказательство уравнения (R). Действительные корни уравнения (R) должны удовлетворять условию:

(1) $a^2+b^2>c^2$

Умножаем обе части неравенства (1) на число $a>0$:

(2) $a^3+ab^2>ac^2$

Поскольку $(c^2-b^2)>0$, всегда существует такое действительное число $x>0$, с помощью которого неравенство (2) можно превратить в равенство (3):

(3) $a^3+ab^2=ac^2+x(c^2-b^2)$

После преобразований приходим к уравнению (4):

(4) $a^3+b^2 (a+x)=c^2 (a+x)$

Представим число $a$ в виде $a=(a+x)-x$:

(5) $[(a+x)-x]^3+b^2 (a+x)=c^2 (a+x)$

Возводим квадратную скобку в куб:

(6) $(a+x)^3-3(a+x)^2 x+3(a+x) x^2-x^3+b^2 (a+x)=c^2 (a+x)$

Делим уравнение (6) на $(a+x)$:

$(a+x)^2-3(a+x)x+3x^2-\frac{x^3}{a+x}+b^2=c^2$

Раскрываем скобки:

$a^2+2xa+x^2-3ax-3x^2+3x^2-\frac{x^3}{a+x}+b^2=c^2$

$a^2+x^2-xa-\frac{x^3}{a+x}+b^2=c^2$

Условие (1) требует следующего неравенства:

$x^2-xa>\frac{x^3}{a+x}$

$x-a>\frac{x^2}{a+x}$

Умножаем обе части данного неравенства на $(a+x)>0$ и применяем формулу сокращённого умножения для разности квадратов:

$x^2-a^2>x^2$

$-a^2>0$

Вывод. Поскольку условие (1) невыполнимо для корней уравнения (R), теорема Ферма справедлива для всех действительных чисел.]]> spirin Высшая математикаFri, 10 Sep 2021 09:19:08 +0300