Теорема равномощности N и множества (0,1) - |N|=|(0, 1)| Здравствуйте. Предлагаю на обсуждение теорему равномощности множества натуральных чисел и множества (0, 1). Теорема $|N|=|(0, 1)|$ Доказательство 1) $C = (0, 1)$ $c ∈ C$ $j = 1..9$ $D_j ⊂ N$, где $D_j =\{j \cdot 10^{1} , j \cdot 10^{2}, j \cdot 10^{3}, j \cdot 10^{4}, j \cdot 10^{5}, …\}$ $K_{j} ⊂ N$, где $K_{j}$ такое, что $k_{j}$ ($k_{j} ∈ K_{j}$) начинаются с $j$ и имеет минимум 2 разряда, $K_{j} ∩ D_{j} = Ø$. 2) $C → K_{j}$ $0, a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} a_{5} … a_{i} → j a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} a_{5} … a_{i}$ *, где $i$ – количество знаков после запятой в $c$ $a_{1} \cdot 10^{-1} + a_{2} \cdot 10^{-2} + a_{3} \cdot 10^{-3} + … + a_{i} \cdot 10^{-i} → j \cdot 10^{i} + a_{1} \cdot 10^{i-1} + a_{2} \cdot 10^{i-2} + a_{3} \cdot 10^{i-3} + … + a_{i} \cdot 10^{0}$ $|C|=|K_{j}|$ * Примеры: 0,2345 → 12345, при j = 1, i = 4 0,00314 → 500314, при j = 5, i = 5 Мощность множества $(0, 1)$ равна мощности множества $K_{j}$, а значит и $N$, так как для любого $c$ из $(0, 1)$ найдется соответствующее $k_{j}$, а для любого $k_{j}$ - соответствующее $c$.http://www.mathforum.ru/forum/read/1/105987/105987/#105987Sat, 16 May 2026 02:34:23 +0300 Phorum 5.2.10 http://www.mathforum.ru/forum/read/1/105987/105995/#105995 о мощности множествhttp://www.mathforum.ru/forum/read/1/105987/105995/#105995 borisgrinevich Высшая математикаSat, 18 Jun 2022 15:57:58 +0300 http://www.mathforum.ru/forum/read/1/105987/105992/#105992 .http://www.mathforum.ru/forum/read/1/105987/105992/#105992
Цитата
alexeymeev
В целом склонен в данной теореме исключить множество иррациональных чисел из множества (0,1). При этом в целом теорема не потеряет в "весе".

Безусловно потеряет. Если исключить иррациональные числа, то останутся только рациональные. А множество рациональных чисел конечно равномощно N.]]> r-aax Высшая математикаFri, 17 Jun 2022 18:06:59 +0300 http://www.mathforum.ru/forum/read/1/105987/105991/#105991 Re: Теорема равномощности N и множества (0,1) - |N|=|(0, 1)|http://www.mathforum.ru/forum/read/1/105987/105991/#105991
Схожий вопрос относительно 1/3. Но, во-первых, с вычислением ai проблем нет, а, во-вторых, результат будет за границами существующих математических операторов. Так 0,(3) всем понятно, а вот 5(3) при j=5 вызывает вопросы, хотя мы можем представить бесконечную десятичную периодическую дробь с тройками в дробной части. Аналогом ей будет бесконечно большое натуральное число, состоящее из 3. Бесконечное в том же понятии, что и дробная часть 0,(3).]]> alexeymeev Высшая математикаFri, 17 Jun 2022 17:49:10 +0300 http://www.mathforum.ru/forum/read/1/105987/105990/#105990 .http://www.mathforum.ru/forum/read/1/105987/105990/#105990
Цитата
alexeymeev
Число пи/6 или какое-либо другое должно быть представлено в виде $a_{1} \cdot 10^{-1} + a_{2} \cdot 10^{-2} + a_{3} \cdot 10^{-3} + … + a_{i} \cdot 10^{-i}$

и чему равно i для числа пи/6?]]> r-aax Высшая математикаFri, 17 Jun 2022 16:36:07 +0300 http://www.mathforum.ru/forum/read/1/105987/105989/#105989 Re: Теорема равномощности N и множества (0,1) - |N|=|(0, 1)|http://www.mathforum.ru/forum/read/1/105987/105989/#105989$a_{1} \cdot 10^{-1} + a_{2} \cdot 10^{-2} + a_{3} \cdot 10^{-3} + … + a_{i} \cdot 10^{-i}$]]> alexeymeev Высшая математикаFri, 17 Jun 2022 16:17:32 +0300 http://www.mathforum.ru/forum/read/1/105987/105988/#105988 .http://www.mathforum.ru/forum/read/1/105987/105988/#105988 r-aax Высшая математикаFri, 17 Jun 2022 13:08:14 +0300 http://www.mathforum.ru/forum/read/1/105987/105987/#105987 Теорема равномощности N и множества (0,1) - |N|=|(0, 1)|http://www.mathforum.ru/forum/read/1/105987/105987/#105987
Теорема
$|N|=|(0, 1)|$

Доказательство
1) $C = (0, 1)$

$c ∈ C$

$j = 1..9$

$D_j ⊂ N$, где $D_j =\{j \cdot 10^{1} , j \cdot 10^{2}, j \cdot 10^{3}, j \cdot 10^{4}, j \cdot 10^{5}, …\}$

$K_{j} ⊂ N$, где $K_{j}$ такое, что $k_{j}$ ($k_{j} ∈ K_{j}$) начинаются с $j$ и имеет минимум 2 разряда, $K_{j} ∩ D_{j} = Ø$.


2) $C → K_{j}$

$0, a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} a_{5} … a_{i} → j a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} a_{5} … a_{i}$ *, где $i$ – количество знаков после запятой в $c$

$a_{1} \cdot 10^{-1} + a_{2} \cdot 10^{-2} + a_{3} \cdot 10^{-3} + … + a_{i} \cdot 10^{-i} → j \cdot 10^{i} + a_{1} \cdot 10^{i-1} + a_{2} \cdot 10^{i-2} + a_{3} \cdot 10^{i-3} + … + a_{i} \cdot 10^{0}$

$|C|=|K_{j}|$

* Примеры:
0,2345 → 12345, при j = 1, i = 4
0,00314 → 500314, при j = 5, i = 5

Мощность множества $(0, 1)$ равна мощности множества $K_{j}$, а значит и $N$, так как для любого $c$ из $(0, 1)$ найдется соответствующее $k_{j}$, а для любого $k_{j}$ - соответствующее $c$.]]> alexeymeev Высшая математикаFri, 17 Jun 2022 10:50:05 +0300