Найти объём тела ограниченого поверхностями Здравствуйте, прохожу интегралы и наткнулся на такую проблему: Найти объём тела ограниченого поверхностями: 4z=x^2+y^2, x^2+y^2=4, z=0, z=1. Найти объём нужно через тройной интеграл. Проблема у меня заключается в том что я не знаю правильно ли я расставил пределы в интегралы. Вот для "z" понятно от 0 до 1. Для "y" у меня получились границы от -2 до 4-x^2 и для "х" получились от -2 до 2. Но как показать что это тело ограничено также эллиптическим параболоидом (4z=x^2+y^2) ? На ютубе и в гугле есть только "идеальные" примеры, которые на практике редко встречаются. Подскажите пожалуйста кто знает, очень нужна помощь.http://www.mathforum.ru/forum/read/1/105996/105996/#105996Wed, 15 Apr 2026 16:56:01 +0300 Phorum 5.2.10 http://www.mathforum.ru/forum/read/1/105996/106122/#106122 Решение заданийhttp://www.mathforum.ru/forum/read/1/105996/106122/#106122 olesiarepina Высшая математикаTue, 05 Jul 2022 17:14:28 +0300 http://www.mathforum.ru/forum/read/1/105996/106097/#106097 Объём фигурыhttp://www.mathforum.ru/forum/read/1/105996/106097/#106097 wwww Высшая математикаFri, 01 Jul 2022 22:04:55 +0300 http://www.mathforum.ru/forum/read/1/105996/106051/#106051 Объём фигурыhttp://www.mathforum.ru/forum/read/1/105996/106051/#106051
Значит границы будут:
для "х": от -2 до 2
для "у": от -sqrt(4-x^2) до sqrt(4-x^2)
для "z": от (x^2+y^2)/4 до 1
Такие же получатся границы? И если да, то какую функцию интегрировать?
Просто 1? Я же уже все ограничения задал, получается по единице интегрировать?]]> mjervi Высшая математикаFri, 24 Jun 2022 17:33:42 +0300 http://www.mathforum.ru/forum/read/1/105996/106045/#106045 Границы двойного интегралаhttp://www.mathforum.ru/forum/read/1/105996/106045/#106045x/(x^2+y). D: y=1, x>=0, x^2=y.
Хочу понять правильно ли я поставил границы интегрирования, у меня они получились такие:
для "x": от 0 до sqrt(y), для "y":от 0 до 1. Как обчислить я знаю, хочу узнать на счёт границ.
Помогите кто точно знает, очень нужна помощь.]]> mjervi Высшая математикаFri, 24 Jun 2022 00:33:40 +0300 http://www.mathforum.ru/forum/read/1/105996/106020/#106020 Это не фактhttp://www.mathforum.ru/forum/read/1/105996/106020/#106020
Цитата
mjervi
В задании ещё и написано, что объём нужно вычислить с помощью тройного интеграла. Значит нужно найти объём тела под параболоидом.
А зачем тогда указана верхняя граница Оz, если тело всё равно под параболоидом? Ну ладно, если считать тело под параболидом- интегрируемая функция будет sqrt(4-x^2)?
С ограничениями по z от 0 до (x^2+y^2)/4, по y от -sqrt(4-x^2) до sqrt(4-x^2) и по х от -2 до 2.
Не факт, что "нужно найти объём тела под параболоидом,"- возможно, что над параболоидом. В любом случае объём можно сразу вычислять как двойной интеграл по кругу, но также и как тройной интеграл по одной из фигур.]]> museum Высшая математикаWed, 22 Jun 2022 00:22:03 +0300 http://www.mathforum.ru/forum/read/1/105996/106016/#106016 Объём фигурыhttp://www.mathforum.ru/forum/read/1/105996/106016/#106016А зачем тогда указана верхняя граница Оz, если тело всё равно под параболоидом? Ну ладно, если считать тело под параболидом- интегрируемая функция будет sqrt(4-x^2)?
С ограничениями по z от 0 до (x^2+y^2)/4, по y от -sqrt(4-x^2) до sqrt(4-x^2) и по х от -2 до 2.]]> mjervi Высшая математикаTue, 21 Jun 2022 12:31:45 +0300 http://www.mathforum.ru/forum/read/1/105996/106014/#106014 Этого я не понялhttp://www.mathforum.ru/forum/read/1/105996/106014/#106014
Цитата
mjervi
А вот если верхней границей z будет 1,может интегрируемая функция будет (x^2+y^2)/4-sqrt(4-x^2)?
Или это уже неправильно будет, а то я что-то запутался
Если вычислять двойным интегралом, например для верхней части (над параболоидом), то интеграл будет браться по области, являющейся кругом в плоскости хОу., от функции двух переменных:
(1 - (x^2+y^2)/4)dxdy.]]> museum Высшая математикаMon, 20 Jun 2022 23:46:48 +0300 http://www.mathforum.ru/forum/read/1/105996/106013/#106013 Объём фигурыhttp://www.mathforum.ru/forum/read/1/105996/106013/#106013
А вот если верхней границей z будет 1,может интегрируемая функция будет (x^2+y^2)/4-sqrt(4-x^2)?
Или это уже неправильно будет, а то я что-то запутался]]> mjervi Высшая математикаMon, 20 Jun 2022 21:30:04 +0300 http://www.mathforum.ru/forum/read/1/105996/106011/#106011 Прошу прощенияhttp://www.mathforum.ru/forum/read/1/105996/106011/#106011
Цитата
mjervi
Спасибо за ответ. Хотел ещё уточнить.
То есть в результате мне нужно будет обчислить тройной интеграл с границами, которые вы написали, функции: (1-(x^2+y^2)/4 ?

И ещё, не совсем понял о верхней границе z, почему 0,5x^2+y^2, а не (x^2+y^2)/4 ?
Действительно, для z пределы иные, нежели я выше написал:
От 0 до (x^2+y^2)/4.
Что касается задания, то обычно даются границы, определяющие одну фигуру, Может быть нужно уточнить у преподавателя? Может быть, нужно вычислить объём обеих фигур. Может быть объём одной фигуры вычислить интегрированием, а второй объём получить вычитанием полученного объёма из объёма цилиндра.]]> museum Высшая математикаMon, 20 Jun 2022 20:14:32 +0300 http://www.mathforum.ru/forum/read/1/105996/106008/#106008 Объём фигурыhttp://www.mathforum.ru/forum/read/1/105996/106008/#106008То есть в результате мне нужно будет обчислить тройной интеграл с границами, которые вы написали, функции: (1-(x^2+y^2)/4 ?

И ещё, не совсем понял о верхней границе z, почему 0,5x^2+y^2, а не (x^2+y^2)/4 ?]]> mjervi Высшая математикаSun, 19 Jun 2022 23:49:47 +0300 http://www.mathforum.ru/forum/read/1/105996/106007/#106007 Ваши поверхности выделяют две ограниченные фигуры:http://www.mathforum.ru/forum/read/1/105996/106007/#106007Вторая фигура - часть кругового цилиндра, ограниченная снизу плоскостью z = 0, с боков цилиндрической поверхностью x^2+y^2=4, с верху параболической поверхностью x^2+y^2=4.
Менять координаты нет необходимости. Тройной интеграл берётся от dxdydz по рассматриваемой фигуре V.
При переходе к повторному интегралу для второй фигуры пределы: от 0 до $0,5\sqrt{x^2+y^2}$; у от $ -\sqrt{4-x^2}$ до $+\sqrt{4-x^2}$; х от -2 до +2.
Можно сделать и замену.]]> museum Высшая математикаSun, 19 Jun 2022 23:23:10 +0300 http://www.mathforum.ru/forum/read/1/105996/106005/#106005 объёмhttp://www.mathforum.ru/forum/read/1/105996/106005/#106005
Якобиан понятно - dRdAdZ

А вот какой будет подинтегральная функция? и какие будут пределы?]]> mjervi Высшая математикаSun, 19 Jun 2022 22:49:53 +0300 http://www.mathforum.ru/forum/read/1/105996/106004/#106004 объёмhttp://www.mathforum.ru/forum/read/1/105996/106004/#106004 borisgrinevich Высшая математикаSun, 19 Jun 2022 22:21:50 +0300 http://www.mathforum.ru/forum/read/1/105996/105996/#105996 Найти объём тела ограниченого поверхностямиhttp://www.mathforum.ru/forum/read/1/105996/105996/#105996
Найти объём тела ограниченого поверхностями: 4z=x^2+y^2, x^2+y^2=4, z=0, z=1.
Найти объём нужно через тройной интеграл. Проблема у меня заключается в том что я не знаю правильно ли я расставил пределы в интегралы.
Вот для "z" понятно от 0 до 1. Для "y" у меня получились границы от -2 до 4-x^2 и для "х" получились от -2 до 2.
Но как показать что это тело ограничено также эллиптическим параболоидом (4z=x^2+y^2) ?
На ютубе и в гугле есть только "идеальные" примеры, которые на практике редко встречаются.
Подскажите пожалуйста кто знает, очень нужна помощь.]]> mjervi Высшая математикаSat, 18 Jun 2022 20:05:23 +0300