Доказать утверждение из теории чисел n - произвольное натуральное число не кратное 2 и 5. к-произвольное натуральное число состоящие из j цифр. Y_i=k*10^(0*j)+k*10^(1*j)+k*10^(2*j)+...+k*10^(i*j) Доказать, что существую такой индекс i, что Y_i делится на n. ---------------------------------------------------------------------------------------- Нетрудно заметить, что утверждение из предыдущего поста http://www.mathforum.ru/forum/read/1/108239/page/1/ является частным случаем, когда k=9http://www.mathforum.ru/forum/read/1/108353/108353/#108353Tue, 12 May 2026 16:12:42 +0300 Phorum 5.2.10 http://www.mathforum.ru/forum/read/1/108353/108447/#108447 Доказать утверждение из теории чиселhttp://www.mathforum.ru/forum/read/1/108353/108447/#108447
Цитата
r-aax
В предыдущем посте приведено доказательство утверждения:

Цитата
r-aax
Условие:
Доказать, что для любого натурального N, не кратного 2 и не кратного 5, найдётся такое число Y, состоящее только из девяток, которое делится на N.

Доказательство:
Рассмотрим N из условия задачи. Найдем для него такие M и K (M > K), что 10^M = 10^K (mod N), это всегда можно сделать ввиду конечности N. Тогда N | (10^M - 10^K) => N | (10^K *(10^(M - K) - 1)). А так как (10^K, N) = 1, то N | (10^(M - K) - 1). Что и требовалось доказать, так как число 10^(M - K) - 1 состоит только из девяток.

Проделайте точно такое же упражнение с Вашим новым условием.

простое и интересное, даже теорема Эйлера не понадобилась, cпасибо)]]> posivan Высшая математикаWed, 22 Feb 2023 09:43:21 +0300 http://www.mathforum.ru/forum/read/1/108353/108399/#108399 между прочимhttp://www.mathforum.ru/forum/read/1/108353/108399/#108399Я неправильно понял условия задачи.]]> vorvalm Высшая математикаMon, 20 Feb 2023 16:32:23 +0300 http://www.mathforum.ru/forum/read/1/108353/108398/#108398 .http://www.mathforum.ru/forum/read/1/108353/108398/#108398
Цитата
vorvalm
Цитата
posivan
n - произвольное натуральное число не кратное 2 и 5.


Доказать, что существую такой индекс i, что Y_i делится на n.

Вот и доказывайте для чисел Y_i того вида, что приведено в условии:

Цитата
posivan
Y_i=k*10^(0*j)+k*10^(1*j)+k*10^(2*j)+...+k*10^(i*j)

а не для каких-то своих чисел:

Цитата
vorvalm
y_i = k* 10 (10^(i - 1) - 1) / 9

Это разные последовательности.]]> r-aax Высшая математикаMon, 20 Feb 2023 16:17:54 +0300 http://www.mathforum.ru/forum/read/1/108353/108397/#108397 между прочимhttp://www.mathforum.ru/forum/read/1/108353/108397/#108397
Цитата
posivan
n - произвольное натуральное число не кратное 2 и 5.


Доказать, что существую такой индекс i, что Y_i делится на n.
]]> vorvalm Высшая математикаMon, 20 Feb 2023 16:10:45 +0300 http://www.mathforum.ru/forum/read/1/108353/108394/#108394 .http://www.mathforum.ru/forum/read/1/108353/108394/#108394
Цитата
vorvalm
Я извиняюсь, конечно, но
ваше число делится на 13 и
мое тоже делится на 13.
Так что какие притезии ?

Претензии такие, что в условии задачи требуется отыскать число вида Y_i=k*10^(0*j)+k*10^(1*j)+k*10^(2*j)+...+k*10^(i*j), а Вы ищете число вида y_i = k* 10 (10^(i - 1) - 1) / 9.
То есть Вы решаете не ту задачу, которая поставлена.]]> r-aax Высшая математикаMon, 20 Feb 2023 15:52:45 +0300 http://www.mathforum.ru/forum/read/1/108353/108393/#108393 между прочимhttp://www.mathforum.ru/forum/read/1/108353/108393/#108393ваше число делится на 13 и
мое тоже делится на 13.
Так что какие притезии ?]]> vorvalm Высшая математикаMon, 20 Feb 2023 15:36:25 +0300 http://www.mathforum.ru/forum/read/1/108353/108392/#108392 .http://www.mathforum.ru/forum/read/1/108353/108392/#108392
Цитата
vorvalm
В условии задачи требуется найти индекс i
при котором Y_i делится на n

У автора в условии:

Цитата
posivan
Y_i=k*10^(0*j)+k*10^(1*j)+k*10^(2*j)+...+k*10^(i*j)

В Вашем решении:

Цитата
vorvalm
y_i = k* 10 (10^(i - 1) - 1) / 9

Это не одно и то же.
Возьмите, например, k = 13 (тогда j = 2) и i = 3.

Тогда формула от posivan даст:
Y_5 = 13*10^(0*2) + 13*10^(1*2) + 13*10^(2*2) + 13*10^(3*2)
Это равно 13131313

Ваша формула дает другой ответ:
y_i = 13 * 10 * (10^(3 - 1) - 1) / 9
Это равно 1430, что совсем не то.

Вы решаете другую задачу.]]> r-aax Высшая математикаMon, 20 Feb 2023 15:11:33 +0300 http://www.mathforum.ru/forum/read/1/108353/108391/#108391 между прочимhttp://www.mathforum.ru/forum/read/1/108353/108391/#108391при котором Y_i делится на n]]> vorvalm Высшая математикаMon, 20 Feb 2023 14:17:39 +0300 http://www.mathforum.ru/forum/read/1/108353/108390/#108390 .http://www.mathforum.ru/forum/read/1/108353/108390/#108390
Цитата
vorvalm
В условии задачи К является множителем.и
выносится за скобки

Какое нужно взять i, чтобы при k = 13 получить значение y_i = 1313?]]> r-aax Высшая математикаMon, 20 Feb 2023 12:19:49 +0300 http://www.mathforum.ru/forum/read/1/108353/108389/#108389 между прочимhttp://www.mathforum.ru/forum/read/1/108353/108389/#108389выносится за скобки]]> vorvalm Высшая математикаMon, 20 Feb 2023 11:51:35 +0300 http://www.mathforum.ru/forum/read/1/108353/108388/#108388 .http://www.mathforum.ru/forum/read/1/108353/108388/#108388
Цитата
vorvalm
y_i = k* 10 (10^(i - 1) - 1) / 9

Не совсем точно, не учтено количество знаков числа k.
Например, для k = 13 автор хочет последовательность y_i со значениями 13, 1313, 131313...
Ваша формула дает другие значения.]]> r-aax Высшая математикаMon, 20 Feb 2023 11:22:19 +0300 http://www.mathforum.ru/forum/read/1/108353/108385/#108385 между прочимhttp://www.mathforum.ru/forum/read/1/108353/108385/#108385
при n = p (простое кроме 2 и 5)

i - 1 = ф(p)

10^(p - 1) - 1 (mod p) = 0]]> vorvalm Высшая математикаMon, 20 Feb 2023 10:36:47 +0300 http://www.mathforum.ru/forum/read/1/108353/108381/#108381 .http://www.mathforum.ru/forum/read/1/108353/108381/#108381
Цитата
r-aax
Условие:
Доказать, что для любого натурального N, не кратного 2 и не кратного 5, найдётся такое число Y, состоящее только из девяток, которое делится на N.

Доказательство:
Рассмотрим N из условия задачи. Найдем для него такие M и K (M > K), что 10^M = 10^K (mod N), это всегда можно сделать ввиду конечности N. Тогда N | (10^M - 10^K) => N | (10^K *(10^(M - K) - 1)). А так как (10^K, N) = 1, то N | (10^(M - K) - 1). Что и требовалось доказать, так как число 10^(M - K) - 1 состоит только из девяток.

Проделайте точно такое же упражнение с Вашим новым условием.]]> r-aax Высшая математикаMon, 20 Feb 2023 09:45:18 +0300 http://www.mathforum.ru/forum/read/1/108353/108353/#108353 Доказать утверждение из теории чиселhttp://www.mathforum.ru/forum/read/1/108353/108353/#108353к-произвольное натуральное число состоящие из j цифр.
Y_i=k*10^(0*j)+k*10^(1*j)+k*10^(2*j)+...+k*10^(i*j)

Доказать, что существую такой индекс i, что Y_i делится на n.

----------------------------------------------------------------------------------------
Нетрудно заметить, что утверждение из предыдущего поста http://www.mathforum.ru/forum/read/1/108239/page/1/ является частным случаем, когда k=9]]> posivan Высшая математикаSat, 18 Feb 2023 16:39:08 +0300