Цитата
nikolay_mih (Николай Михайлович)
ishhan,
По приведенным Вами формулам нельзя:
определить Пифагорову тройку для заданного числа;
установить, что все числа $N>2$ входят в Пифагоровы тройки

Цитата
nikolay_mih (Николай Михайлович)
Поскольку Вы зациклились на числе $h=mn,$ состоящем из двух сомножителей,
попытайтесь найти решение для случаев $h=2mn$, $h=mnrst...$
И не забывайте исходные условия задачи и трактуйте их в соответствии с правилами математики.
P.S. Вопрос: $h=mn= 3\cdot7=21см$, какова размерность чисел $3$ и $7$?
По-вашему, если $h=mnrst$, то размерность высоты (линейного отрезка) равна $cм^5$
__________________________
Профессор, учите матчасть!

Цитата
nikolay mih (Николай Михайлович)
Я задавался вопросом, могут ли в искомом косоугольном треугольнике высота и сторона,
на которую она опущена, быть равными

Цитата
nikolay_mih (Николай Михайлович)
Уважаемый ishhan,
я привел формулы для расчета размеров двух прямоугольных треугольников с целочисленными значениями
сторон при условии, что у этих треугольников имеются равные катеты. Это высота $h$.
сложив эти прямоугольные треугольники по высоте $h$, Вы получите косоугольный треугольник
со сторонами $a, b, с=k+p$. Рекомендую, задавшись значением $h=mn$, т.е.
конкретными значениями чисел $m, n$, выполнить простые расчеты и произвести элементарное
построение. Вы убедитесь, что я прав: Вы получите косоугольный треугольник.
Я не писал, что $p+k=mn$.

Цитата
nikolay_mih (Николай Михайлович)
Господа,
предлагаю вашему вниманию простое решение задачи.
Если у косоугольного треугольника стороны, высота и отрезки, на которые высота делит
сторону, на которую она опущена, имеют целочисленное значение, то решение выглядит
следующим образом. Задаемся значением высоты $h=mn$, где $m, n$ -
нечетные числа.
Определяем значения сторон прямоугольных треугольников, из которых состоит
косоугольный треугольник.
Гипотенуза первого прямоугольного треугольника ( сторона косоугольного треугольника) равна:
$a=\frac{(mn)^2+m^2}{2m}$.
Гипотенуза второго прямоугольного треугольника ( сторона косоугольного треугольника) равна:
$b=\frac{(mn)^2+n^2}{2n}$.
Катет первого прямоугольного треугольника ( часть третьей стороны косоугольного треугольника) равен:
$k=\frac{(mn)^2-m^2}{2m}$
Катет второго прямоугольного треугольника ( часть третьей стороны косоугольного треугольника) равен:
$p=\frac{(mn)^2-n^2}{2n}$.

Цитата
anton25
Ни одного логического пробела не увидел. Все прозрачно, четко, логично и очень красиво! Поздравляю уважаемый Yog-urt!

Цитата
lookout
Чего ж сразу не сказали, что так можно?
Док-во ВТФ от tamango «$ a^n+b^n-c^n $ всегда нечетно, откуда следует неразрешимость уравнения Ферма. Не нужно в качестве контрпримера подбирать произвольные числа. Нужно решать уравнение! Понятно?!»
Как говорится «подержи арбуз!»

Цитата
tamango
Решение попроще
$5q^2=d^2+e^2$ (c)
3. с учетом приведенных примеров уравнение (c) не имеет решения в целых числах.

Цитата
yog-urt
Поправил и размещаю доказательство утверждения, которое выделил из задачи о треугольнике. Во-первых, это утверждение и его доказательство имеют самостоятельный интерес, во-вторых, с использованием утверждения задача о треугольнике (эта и подобные) решается «в лет», в-третьих, доказательство допускает простые обобщения на ряд других систем уравнений (есть простые и интересные примеры).
Для исправления некорректности, которую отметил в моем предыдущем варианте Anton25, потребовалось рассмотреть упущенный в предыдущем варианте важный случай. Приводимое ниже доказательство использует стандартный подход, который я приводил в этой теме ранее. Прошу проверить корректность рассуждений.

Утверждение 1. Система уравнений
$ (1) \;\;\;\;\;4q^2+w^2=d^2, \;\; q^2-w^2=e^2 $
неразрешима в натуральных числах.

Доказательство
Предположим противное (числа $ q, w, d, e $ – удовлетворяют уравнению (1)), причем, не нарушая общности, будем считать, что $ q, w $ и $ d, e – $ попарно несократимые числа и, кроме того, что данный набор решений из всех возможных наборов решений содержит наименьшее число $ w. $ Из второго уравнения следует, что $ q $ – нечетное число. При этом с учетом того, что разность квадратов нечетных чисел делится на 8, из первого уравнения можно заключить, что $ w$ и $ d $ – четные числа. Подставляя в (1) $ w = 2r , d = 2s $ получим эквивалентную систему уравнений:
$ (2) \;\;\;\;\; q^2+r^2=s^2 , \;\; q^2 – 4r^2=e^2 , $
где $ r $ – четно, а $ s, e $ – нечетны.
Представим числа $ q, r $ через пифагоровы тройки:
$ (3) \;\;\;\;\; q=m_1^2 – n_1^2= m_2^2 + n_2^2 , \;\;\;\;\;r= 2m_1 n_1= m_2 n_2, $
где $ m_1, n_1 $ и $ m_ 2, n_2 $ попарно несократимы. Пусть $ m_1=s_1s_2 , \;\; n_1=t_1t_2 , \;\; m_2=2s_1t_1 , \;\; n_2=s_2t_2 , $ (это общее c точностью до обозначения чисел представление попарно несократимых пар чисел с заданными для пар произведениями). С учетом этого из (3)
$ (4) \;\;\;\;\; s_1^2s_2^2-t_1^2t_2^2=4s_1^2t_1^2+s_2^2t_2^2\;\;\;\;\; r=2s_1s_2t_1t_2, $
и после преобразований
$ (5) \;\;\;\;\; s_1^2 (s_2^2-4 t_1^2)= t_2^2(s_2^2+ t_1^2) . $
Возможны два случая.
1. Если $ s_2^2-4 t_1^2 $ и $ s_2^2+ t_1^2 $ сократимы (например, общий делитель $ p$), то, очевидно, $ p=5. $ В этом случае из (5) получаем уравнения $ 5 s_1^2 = s_2^2+ t_1^2 , \;\; 5 t_2^2= s_2^2-4 t_1^2 , $ которые линейными преобразованиями приводятся к виду
$ (6) \;\;\;\;\; 4s_1^2+ t_2^2= s_2^2, \;\; s_1^2- t_2^2= t_1^2. $
Последние уравнения эквивалентны исходной системе уравнений (1), при этом $ t_2 \sim w $ и $ t_2 < w, $ что противоречит допущению (о минимальности $ w$) и свидетельствует о неразрешимости системы уравнений (1) в данном случае.
2. Если $ s_2^2-4 t_1^2 $ и $ s_2^2+ t_1^2 $ несократимы, то $ s_1^2 = s_2^2+ t_1^2 , \;\; t_2^2= s_2^2-4 t_1^2 , $ т. е. также получена система уравнений, эквивалентная (2) и исходной системе, при этом $ 2t_1 \sim w $ и $ 2t_1 < w. $
Таким образом, система уравнений (1) неразрешима, ч. т. д. #

Цитата
tamango
Уважаемые господа,
Привожу примеры целочисленности значений сторон треугольника и его высоты
и делимости строны высотой на целочисленные отрезки:
1. стороны:$a=35, b=75, c=100$
высота $h=21$
Высота $h$ делит сторону $c$ на отрезки
$k=28, m=72.$

2. стороны:$a=55, b=183, c=224$
высота $h=33$
Высота $h$ делит сторону $c$ на отрезки
$k=44, m=180.$
Значения высот $h$ и отрезков $k, m$
содержат общий сомножитель, но отрезки не кратны высоте.
Значения высот $h$ и сторон $a, b$
содержат общий сомножитель, но стороны не кратны высоте.