Цитата
r-aax
Пусть сторона квадрата равна $n$, тогда периметр $P = 4n$, площадь $S = n^2$.
Если его удалось разрезать на $4$ фигуры по условию задачи, то периметр каждой из них $p = P = 4n$, площадь $s = \frac{S}{4} = \frac{n^2}{4}$.

По формуле Пика $s = i + \frac{b}{2} - 1$, где $i$ - количество внутренних узлов получившейся фигуры, $b$ - количество узлов на границе фигуры. Так как фигуры мы вырезаем строго по клеткам, то $b = p$, откуда $s = i + \frac{p}{2} - 1$, или $\frac{n^2}{4} = i + 2n - 1$. Следовательно $i = \frac{n^2}{4} - 2n + 1$.

Очевидно, что необходимо выполнение $i \ge 0$, откуда $n^2 - 8n + 4 \ge 0$, откуда получаем $n \ge 4 + 2\sqrt{3}$. Получаем, что $n \ge 8$.

При $n = 8$, получаем $i = 1$. Для получения примера разрезания квадрата $8 \cdot 8$ достаточно выполнить любое симметричное разрезание на $4$ части, при котором каждая часть содержит только одну внутреннюю точку. Пример ниже:

$\left|\begin{array}{rr} . & . & . & . & # & # & # & # \\ . & . & . & . & . & . & . & # \\ . & . & . & . & . & # & . & # \\ . & . & . & . & # & # & # & # \\ . & . & . & . & . & # & # & . \\ . & . & . & . & . & . & # & . \\ . & . & . & . & . & # & # & . \\ . & . & . & . & . & . & . & . \end{array}\right|$

Цитата
museum
Рассмотрим прямоугольник размера 16х8. Нам нужно разрезать его на две равные фигуры с периметрами 64. Сложив два таких прямоугольника по длинной стороне мы получим квадрат 64х64.
Начало координат поместим в центре прямоугольника, ось абсцисс направлена по длинной средней линии.
Координаты вершин прямоугольника: (-8, -4); (-8,4); (8,4); (8,-4).
Координаты вершин ломанной, разрезающей прямоугольник:
(-8,0); (-4,0); (-4,1); (-7,1); (-7,3); (-5,3); (-5,2); (0,2) и центрально симметричные указанным точкам:
(0,-2); (5,-2); (5,-3); (7,-3); (7,-1); (4,-1); (4,0); (8,0).