Проблемы аддитивной теории простых чисел В заключительной главе учебника А.А.Бухштаба "Теория чисел" есть раздел "Проблемы аддитивной теории простых чисел" Первыми из них названы "Проблема Гоьдбаха" и "Проблема простых близнецов" Простые числа не подчиняются никаким точным закономерностям. Существующие методы исследования простых чисел, основанные на решете Эратосфена, функции Римана, Дирихле и т.п. дают асимптотические, оценочные результаты. В литературе по элементарной теории чисел приведенным системам вычетов (ПСВ) уделено недостаточно внимания и далеко не полностью раскрыты все свойства этих систем, которые позволяют решить ряд проблем аддитивной теории простых чисел. Для этого необходим новый аппарат исследования ПСВ в рамках элементарной теории чисел. Применяемые обозначени ПСВ - приведенная система вычетов [math]a_n[/math] - вычет ПСВ с порядковым номером [math]n[/math] [math]d[/math] - разность между вычетами ПСВ [math]N(d)[/math] - число разностей [math]d[/math] [math]\varphi(m)[/math] - функция Эйлера по модулю [math]m[/math] [math]p_r[/math] - простое число с порядковым номером [math]p[/math] [math]M(p) = p#[/math] - произведение простых чисел от [math]2[/math] до [math]p[/math] (праймориал) Что мы знаем о ПСВ ? По определению вычеты ПСВ взаимно простые с модулем и взаимно несравнимые с модулем В этом определении ничего не сказано о какой либо связи между вычетами ПСВ, кроме взаимной простоты и несравнимости с модулем. Если вычеты ПСВ расположить в порядке их возрастания, то получим упорядоченную систему вычетов. При этом, если за первый вычет принять единицу, то будем иметь основную ПСВ, у которой все вычеты меньше модуля. По Бухшабу это система наименьших положительных вычетов. В таких системах явно просматриваются закономерности распределения вычетов ПСВ. Например, ПСВ по модулю [math]M = 5# = 30[/math] 1------7-----11--13-----17--19-----23------29 Интерес представляют и ПСВ с минимальными по абсолютной величине вычетами. Например, по тому же модулю М =30 (-13)---(-11)----(-7)----(-1)---1-----7----11---13 Чисо вычетов ПСВ определяется функцией Эйлера По простому модулю [math]p[/math] [math]\varphi(p)=p - 1[/math] По составному модулю [math]m[/math] [math]\varphi(m) = mП(1-1/p)[/math], где [math]p\m[/math] В качесве составного модуля ПСВ будем брать праймориал [math]M(p) = p#[/math] Функция Эйлера по этому модулю имеет более простой вид [math]\varphi(M)=П(p - 1)[/math], где p\M Как правило, буде рассматривать основные ПСВ. Все другие ПСВ будем рассматривать особоhttp://www.mathforum.ru/forum/read/1/96909/96909/#96909Sun, 15 Mar 2026 05:34:55 +0300 Phorum 5.2.10 http://www.mathforum.ru/forum/read/1/96909/110896/#110896 -1/12http://www.mathforum.ru/forum/read/1/96909/110896/#110896
Цитата
vorvalm
ПСВ - это же непосредственное следствие функции Эйлера..
У тебя вычеты ПСВ представляют прогрессии с начальными числами, равными этим вычетам.
Например по модулю М = 30 это 8 прогрессий., по модулю 42 будет 12 прогрессий и т.д.
Но меня не интересуют эти прогрессии. Они достаточно изучены.
А вот вычеты ПСВ по модулю М = p# (primorial) представляют собой прошедший через
решето Эратосфена этот primorial, вычеты которого взаимно просты с модулем.
И что замечательно. Если эти вычеты расположить в порядке возрастания, то первыми вычетами
будут только простые числа вплоть до квадрата следующего простого числа, не входящего
в primorial. Если мы найдем закономерности распределения вычетов ПСВ, то эти закономерности
будут относится и к этим простым числам. Вот этим я и занимаюсь

Volvram наверно в то время думал что я чем либо другим занимаюсь ,но не праймо модули а совсем другой модуль решает проблемы.]]> ammo77 Высшая математикаThu, 14 Sep 2023 20:04:19 +0300 http://www.mathforum.ru/forum/read/1/96909/102977/#102977 vorvalmhttp://www.mathforum.ru/forum/read/1/96909/102977/#102977
Абсолютное непонимание конструкции φ(n).]]> ammo77 Высшая математикаTue, 01 Dec 2020 11:04:20 +0300 http://www.mathforum.ru/forum/read/1/96909/102974/#102974 Функции Эйлера высших порядковhttp://www.mathforum.ru/forum/read/1/96909/102974/#102974
φ_n(M) = П φ_n(p) = П(р - n) р/M

Прежде чем определять число групп вычетов n - го порядка (n - число вычетов в группе) в ПСВ

по модулю M = p# надо определить, существует ли данная группа в ПСВ.

Для этого у нас есть функция " проходимость" K(p) = φ_n(p) + m(p) = p + m(p) - n.

По каким р надо проверять проходимость группы ? Приняв m(p) = 0 при р > n K(p) > o.

В этом случае по модулю р проходимость проверять не надо.

Если p < n, то проверка обязательна, но по модулю р = 2 проверять не надо, т.к. вычеты группы

четные числа, число их равно n - 1 и все они сравнимы с первым вычетом равным 0.

т.е. m(2) = n - 1 и K(2) = 2 + n - 1 - n = 1.



Определение числа групп n - го порядка в ПСВ(М).

Для этого необходимо определить коэффициент A_n к функции φ_n(M) . Он равен

A_n = П k(p)/φ_n(p)

Здесь проходимость К(р) определяется по всем р, по которым возможны сравнения вычетов группы

между собой , но только по тем, которые есть в модуле М. Коэффициент A_n показывает насколько

отличается фактическое число групп от функции Эйлера.

φ_n(p) - определяется по тем же р, что и К(р).

Число групп n - го порядка определяется по формуле

N(Q[n]) = A_n φ_n(M)



Примеры. Берем группу 4 - го порядка с разностями между вычетами (4, 2, 4).

Приведенная группа D[4] = (0, 4, 6, 10)

Проходимость по модулю р = 3. Имеем два сравнимых вычета 0 - 6 и 4 - 10.

m(3) = 2, K(3) = 3 + 2 - 4 = 1.

Этого достаточно, чтобы утверждать, что данная группа существует в любой ПСВ(М),

т.к. р = 5 > n и K(5) > 0.

Но для определения числа групп в ПСВ надо определить коэффициент А_n

Проходимость по модулю р = 5. Имеем один сравнимый вычет 0 - 10.

m(5) = 1, K(5) = 5 + 1 - 4 = 2.

φ_4(3) = 1, φ_4(5) = 1, A_4 = K(3)K(5) = 2.

N(D{4]) = 2 φ_4(M)



В ПСВ(30), φ_4(30) = 1, N(D{4]) = 2, это (7, 11, 13, 17) и (13, 17, 19, 23).

В ПСВ(210), φ_4(210) = 3, N(D{4]) = 6, это (13, 17, 19, 23),(37, 41, 43, 47)

(97, 101, 103, 107),(103, 107, 109, 113),(163, 167, 169, 173),(187, 191, 193, 197).]]> vorvalm Высшая математикаMon, 30 Nov 2020 13:13:42 +0300 http://www.mathforum.ru/forum/read/1/96909/102761/#102761 Функции Эйлера высших порядковhttp://www.mathforum.ru/forum/read/1/96909/102761/#102761
Необходима коррекция функции φ_n(p) с помощью функции m(p), которая определяет

число сравнимых вычетов группы по модулю р. Так как функция φ_n(p) эти вычеты группы

не учитывает, то их надо просто прибавить к φ_n(p) и тогда число групп бедет равно

φ_n(p) + m(p)

Это уже не функция Эйлера. Заочно назовем ее "проходимость" по модулю р и обозначим

K(p) = φ_n(p) + m(p)

Хотя она и определяет число групп в ПСВ, но привязана к одной группе функцией m(p).

Чтобы иметь общую формулу для любых групп необходим коэффициент к функции φ_n(p).

A_n φ_n(p) = K(p)

Коэффициент "проходимости" A_n по модулю р равен

A_n = K(p) /φ_n(p) = 1 + m(p)/φ_n(p), при m(p) = 0, A_n = 1.

Этот коэффициент показывает, насколько истинное число групп отличается от функции φ_n(p).

Такое представление коэффициента по модулю р кажется нелогичным, но при переходе

к составным модулям это будет просто необходимо.]]> vorvalm Высшая математикаSat, 24 Oct 2020 13:59:45 +0300 http://www.mathforum.ru/forum/read/1/96909/102602/#102602 между прочемhttp://www.mathforum.ru/forum/read/1/96909/102602/#102602
Спасибо Дима.]]> vorvalm Высшая математикаWed, 16 Sep 2020 10:14:06 +0300 http://www.mathforum.ru/forum/read/1/96909/102601/#102601 хмhttp://www.mathforum.ru/forum/read/1/96909/102601/#102601с клоунами Бимом и Бомом,
сообщаю - эти шуты
фанатеют от простоты.

им обоим плевать на ковиды -
они оба видали виды.
им режим, не режим - все едино,
что на два и на три делимо.

каждый день несусветно талдычат
то про Эйлера, то про вычет,
про прогрессии и про модули
тычат рьяно друг в дружку мордами.

делать нечего на изоляции,
вот приходится и изголяться им -
ворошить цирковые опилки,
меж собой умножая цифирки.

что ж до смысла - искать то полно вам -
это все полоумные клоуны,
потешают народ репризами.
им таблетки от дебилизма бы.]]> zklb (Дмитрий) Высшая математикаWed, 16 Sep 2020 00:57:21 +0300 http://www.mathforum.ru/forum/read/1/96909/102596/#102596 между прочимhttp://www.mathforum.ru/forum/read/1/96909/102596/#102596
Цитата
vilfred
а кто то эти простыни текста из ворда читает?
Сам удивляюсь, откуда столько хитов и постов в данной теме.]]> vorvalm Высшая математикаSat, 12 Sep 2020 08:44:07 +0300 http://www.mathforum.ru/forum/read/1/96909/102594/#102594 я не понялhttp://www.mathforum.ru/forum/read/1/96909/102594/#102594 vilfred Высшая математикаSat, 12 Sep 2020 01:05:01 +0300 http://www.mathforum.ru/forum/read/1/96909/102590/#102590 : Функции Эйлера высших порядковhttp://www.mathforum.ru/forum/read/1/96909/102590/#102590
$φ_n(p q) = φ_n(p) φ_n(q)$

Принимаем простые числа $р > n, q > n$. Вычеты группы взаимно простые с $p$ и $q$

и несравнимые по модулю $p$ и $q.$

Пусть х пробегает ($r_1, r_2,. . .r_p$ ) полную систему вычетов по модулю $p$, и

у пробегает($s_1, s_2, . . .s_q$) полную систему вычетов по модулю $q.$

Составим севозможные числа вида $p r_i + q s_j$ , соответствующие различным парам r_i и $s_j.$

Число таких чисел будет равно $p q$.

С другой стороны, т.к. $(p, q) = 1$, то эти числа образуют полную систему вычетов по модулю $p q$

Потенциально эти числа представляют собой первые вычеты групп n - го пордка, если среди

вычетов этих групп не будет чисел кратных $p$ и $q.$

Так как вычеты групп по определению взаимно простые числа, то в одной группе не может быть

двух вычетов кратных одному простому числу $p$ или $q$, но могут быть два вычета кратныx одно $р$,

другое $q$. Кроме того есть вычеты равные $p q$, число их равно $n.$

Число вычетов кратных $p$ в модуле $p q$ равно $q$ и наоборот. Отсюда общее число вычетов

кратных $p$ и $q$ во всех потенциальных группах $n$ - го порядка равно $(p + q) n$, но это при условии,

что в одной группе будет только один вычет, кратный $p$ или $q.$ Но это не так.

Вычеты кратные $p$ и $q$ будут располагаться в группах произвольно в различных комбинациях

среди n вычетов группы. Здесь мы имеем дело с перестановками 2- х вычетов кратных $p$ и $q$

в группе из $n$ вычетов. Их число вместе с числами pq равно

$n!/(n-2)! + n = n^2$

Отсюда, число групп n-го порядка в ПСВ по модулю $m = p q$ при принятых условиях равно

$φ_n(p q) = p q - ( p + q) n + n^2 = (p - n)(q - n) = φ_n(p) φ_n(q)$]]> vorvalm Высшая математикаFri, 11 Sep 2020 11:34:25 +0300 http://www.mathforum.ru/forum/read/1/96909/102567/#102567 Re: Функции Эйлера высших порядковhttp://www.mathforum.ru/forum/read/1/96909/102567/#102567
к ПСВ по модулю M = p#. Теперь рассмотрим эти функции по любому составному модулю.

Естественным продолжением сортировки вычетов ПСВ является определение числа

групп вычетов (кортежей) в ПСВ по модулю р. Принцип тот же. Выбираем группу (кортеж)

с вычетами $а_1, а_2, а_3,.....а_n$ и вычитаем первый вычет из всего состава группы. Получим

приведенную группу с последовательными вычетами, что позволяет сравнивать ввычеты

группы с вычетами ПСВ.

$(0, d_1=a_2-a_1, d_2= a_3-a_1, d_3=a_4-a_1....d_(n-1)=a_n-a_1) или (0, d_1, d_2, d_3,...d_(n-1))$

Например, возьмем приведенную группу D[4] = (0, 2, 6, 8) и сравним ее с вычетами ПСВ по модулю $р = 5$.

0 - - - 2 - - - 6 - - - 8

1 - - - 3 - - - 7 - - - 9

2 - - - 4 - - - 8 - - - 10

3 - - - 5 - - - 9 - - - 11

4 - - - 6 - - -10 - - - 12

Как видим, только одна группа проходит по модулю $р = 5$. Это группа 1 - 3 - 7 - 9.

У остальных групп есть вычеты кратные $р = 5.$ Продолжим таблицу до модуля р = 7

5 - - -7 - - -11 - - -13

6 - - -8 - - -12 - - -14

Здесь проходят уже 3 группы. Вывод очевиден . Число таких групп в ПСВ по модулю $р$

равно $N(D[4]) = p - 4,$ где $4$ - число вычетов в группе. Однако, вернемся к модулю $р = 3.$

Здесь проходит одна группа, но по формуле не получается. В чем дело ?

А дело в том, что необходимо учитывать сравнимые вычеты группы по модулю $р$.

Среди вычетов группы нет сравнимых по модулям $р = 5$ и $р = 7$, но по модулю $р = 3$

имеем два сравнимых вычета 0 - 6 и 2 - 8. Сравнимые с $р$ вычеты группы в сумме

с любым вычетом ПСВ(р) не могут быть кратны $р$, а вычеты, сравнимые между собой

по модулю $р$ в сумме с вычетом группы оба становятся кратными $р$.

Они как-бы выпадают из состава группы, т.е. фактически "уменьшают" число вычетов группы.

Поэтому введем функцию $m(p)$ - число вычетов группы, сравнимых по модулю $р$

с каким-либо другим вычетом этой группы.

В случае с $р = 3$ имеем $m(3) = 2$, отсюда $N(D[4']) = 3 - (n - m(p)) = 3 - 2 = 1.$



Теперь мы можем дать определение функции Эйлера $n$ - го порядка.



Функция Эйлера $φ_n(р)$ $n$-го порядка определяет число групп вычетов (кортежей)

в ПСВ по модулю $р$, состоящих из $n$ вычетов взаимно простых с модулем $р$

и несравнимых по модулю $р.$

$φ_n(p) = p - n,$ при $p > n$, при $p ≤ n$, $φ_n(p) = 1.$

Доказательство.

Максимальное число взаимно простых вычетов по модулю р равно функции Эйлера φ(p).

Если число вычетов в группе n ≤ φ(p), то все они являются вычетами ПСВ по модулю р.

следовательно число таких групп равно

φ_n(p) = p - n

При n = φ(p), φ_n(p) = p - φ(p) = 1.

Если число вычетов в группе n > φ(p), то среди них будут сравнимые по модулю р,

но функция φ_n(p) их не учитывает, т.к. условия определения функции φ_n(p) не выполняются.

Чтобы остаться в рамках определения будем считать, что вычеты такой группы должны быть взаимно

простыми и несравнимыми по ближайшему простому модулю q > p. Тогда среди вычетов этой группы мы будем

иметь полные системы вычетов по всем p < q, следовательно, число вычетов группы, кратных

и сравнимых по модулю p будет равно m(p) = n - φ(p). отсюда число групп равно



p + n - φ(p) - n = 1. т.е. формально φ_n(p) = 1 при p ≤ n.





.]]> vorvalm Высшая математикаTue, 25 Aug 2020 13:41:11 +0300 http://www.mathforum.ru/forum/read/1/96909/102516/#102516 Функция Эйлера второго порядкаhttp://www.mathforum.ru/forum/read/1/96909/102516/#102516


$m=2^k\cdot p_r^n\cdot p_s^t$



Здесь достаточно доказать, что $\varphi_2(2^k)=\frac 1 2\cdot 2^k$

Действительно, среди всех натуральных чисел от $1$до $2^k$ находятся $2^k|2=2^{k-1}$ чисел,

взаимно простых и несравнимых с $2^k$, т.е. нечетные числа.

И любые из этих чисел в сумме с четной разностью также взаимно простые и несравнимые с $2^k$

следовательно,



$\varphi_2(2^k)=2^k-2^{k-1}=2^{k-1}(2-1)=\frac 1 2 \cdot 2^k$ oтсюда



varphi_2(2^k\cdot\p_r^n\cdot p_s^t)= \frac 1 2 \cdot m\prod(1-\frac 1 {p_r})(1-\frac 1 {p_s})]]> vorvalm Высшая математикаThu, 30 Jul 2020 10:51:51 +0300 http://www.mathforum.ru/forum/read/1/96909/102312/#102312 простые числаhttp://www.mathforum.ru/forum/read/1/96909/102312/#102312
Цитата
vorvalm
Докажем формулу Эйлера второго порядка для нечетных модулей.
$m=p_r^n p_s^t$


$\varphi_2(p_r^n)=p_r^{n-1}(p_r-2)$
$\varphi_2(p_s^t)=p_s^{t-1}(p_s-2)$

Так как функция Эйлера второго порядка мультипликативная, то

$\varphi_2(m)=\varphi_2(p_r^n)\varphi_2(p_s^t)=p_r^{n-1}p_S^{t-1}(p_r-2)(p_s-2)=m\prod(1-\frac 2 p),\;\;p|m$

Покажи числовое выражение твойх формул ,Функция Эйлера любая мультипликативная а не только 2 го порядка кстати что такое функция Эйлера второго порядка?]]> ammo77 Высшая математикаThu, 28 May 2020 23:54:49 +0300 http://www.mathforum.ru/forum/read/1/96909/102308/#102308 : Функция Эйлера второго порядкаhttp://www.mathforum.ru/forum/read/1/96909/102308/#102308$m=p_r^n p_s^t$


$\varphi_2(p_r^n)=p_r^{n-1}(p_r-2)$
$\varphi_2(p_s^t)=p_s^{t-1}(p_s-2)$

Так как функция Эйлера второго порядка мультипликативная, то

$\varphi_2(m)=\varphi_2(p_r^n)\varphi_2(p_s^t)=p_r^{n-1}p_S^{t-1}(p_r-2)(p_s-2)=m\prod(1-\frac 2 p),\;\;p|m$]]> vorvalm Высшая математикаThu, 28 May 2020 10:36:43 +0300 http://www.mathforum.ru/forum/read/1/96909/102289/#102289 простые числаhttp://www.mathforum.ru/forum/read/1/96909/102289/#102289157*157=24649
123559 -24649=98910>98910/157=630
123559+24649=148208>149208/157=944

944+630=1574>2*787
944-630=314>2*157
314>314/100=π

1574/314=787/157=5.0127388535031847
π и вычеты.
Здесь формула закономерности вычета 157 для всех его произведении трлько двух простых 157*P любого диапазона .

https://www.facebook.com/photo.php?fbid=4095002023858185&set=gm.3041502899267181&type=3&theater&ifg=1]]> ammo77 Высшая математикаMon, 25 May 2020 09:11:18 +0300 http://www.mathforum.ru/forum/read/1/96909/102277/#102277 : Функция Эйлера второго порядкаhttp://www.mathforum.ru/forum/read/1/96909/102277/#102277
Во-первых, надо доказать формулу функции Эйлера второго порядка
для степени нечетного простого числа

$\varphi_2(p^n)=p^{n-1}\varphi_2(p)$

В ряду натуральных чисел от 1 до $p_n$ имеется $p^n|p =p^{n-1}$ чисел, кратных $p,$,
но по определению функции Эйлера второго порядка число пар вычетов,
у которых один из них кратен $p$ равно $2p^{n-1}$
Отсюда

$p^n - 2p^{n-1}= p^{n-1}(p-2)=p^{n-1}\varphi_2(p)= \varphi_2(p^n)$]]> vorvalm Высшая математикаThu, 21 May 2020 17:26:46 +0300 http://www.mathforum.ru/forum/read/1/96909/102271/#102271 33http://www.mathforum.ru/forum/read/1/96909/102271/#102271http://www.bitman.name/math/article/226/332?fbclid=IwAR0oUhjKJL6CorljdcBavho8wSr5blslPs3ALBXedHClr5FSjDD52t83GHI

Посмотри как усердно трудяться италянцы что понять связь с прогрессиями и значениями Функции Эйлера , правда их такая статистика, думаю
для понимания этой связы не продвинулась ни на шаг.
Там попитка обьяснит в принципе эту связь но неправильный подход их запутал окончательно,то же самая ошибка как и с простыми числами.

Все ошибки и за непонимания остатков или более точно теория чисел нуждаеться в строгой классификаций чисел на виды ,без которых
невозможно показать закономерность простых чисел в натуральном ряде.]]> ammo77 Высшая математикаWed, 20 May 2020 22:42:55 +0300 http://www.mathforum.ru/forum/read/1/96909/102270/#102270 33http://www.mathforum.ru/forum/read/1/96909/102270/#102270Комбинаций вычетов если еще соберешь то успех гарантрован .А так все это и великим известно било .Порядок близнецов ищи распределение по отдельним видам ,то что вернулся составним модулям похвально год назад ты говорил что от них все изученно. Прогрессии не забудь, без них грошь цена всем этим показам как ты любишь говорит :изобратешь велик десна 2:.]]> ammo77 Высшая математикаWed, 20 May 2020 22:03:39 +0300 http://www.mathforum.ru/forum/read/1/96909/102269/#102269 Функция Эйлера второго порядкаhttp://www.mathforum.ru/forum/read/1/96909/102269/#102269Надо рассмотреть два случая нечетного и четного составного модуля.
Для нечетного составного модуля $m = p_s^{\alpha}\cdot p_t^{\beta}…$

$\varphi_2(m)=m\prod(1-\frac 2 p),\;\;$ где $p\mid m$

Для четного составного модуля $m =2^n p_s^{\alpha}\cdot p_t^{\beta}…$


$\varphi_2(m)=\frac 1 2 m\prod(1-\frac 2 p),\;\;$ где $p\mid m$ кроме р = 2.]]> vorvalm Высшая математикаWed, 20 May 2020 17:38:21 +0300 http://www.mathforum.ru/forum/read/1/96909/102268/#102268 33http://www.mathforum.ru/forum/read/1/96909/102268/#102268
Я задал такой вопрос в мат-группах в соцсетях и на форумах >

Is there a connection with arithmetic progression and the meaning of Euler Functions. If there is what this connection is?

Есть ли связь с арифметической прогрессией и значением Функций Эйлера .Если есть то что это за связь?

Здесь Volvram описывет аж Функция Эйлера второго порядка, наверно может ответит и на такой простенький вопрос.


* Оказывается, что число чисел a+d в ПСВ зависит от разности d. " и как это ты смог докумекать ?

* Функция Эйлера второго порядка мультипликативная * не только второго а любого бесконечного n порядка мультипликативная и это аксиома .]]> ammo77 Высшая математикаWed, 20 May 2020 10:53:03 +0300 http://www.mathforum.ru/forum/read/1/96909/102171/#102171 : Функция Эйлера второго порядкаhttp://www.mathforum.ru/forum/read/1/96909/102171/#102171
φ_2 (p_r p_s) = φ_2 (р_r) φ_2(р_s) = (р_r - 2)(р_s - 2)

Доказательство. Пусть х пробегает значения r_1,r_2,...r_j вычетов ПСВ по модулю р_r,
а у пробегает значения s_1,s_2,...s_i вычетов по модулю р_s.
Составим всевозможные числа вида хр_s + ур_r, соответствующих различным парам чисел r и s.

Число таких чисел равно φ(р_r)φ(р_s). Так как (р_r,р_s) = 1, то числа p_r s_i+р_s r_j образуют
ПСВ по модулю m = р_s p_r
Составим таблицу указанных чисел в следующем порядке:

p_r+p_s,.... 2p_r+p_s,............ .φ(p_r)p_r+p_s

p_r+2p_s,,,,,,, 2p_r+2_s,...............φ(p_r)p_t_+2p_s
............................................................
pr+φ(p_r)p_s,..... 2p_r+φ(p_r)p_s,..........φ(p_r)p_r+φ(p_r)p_s

Числа каждой строки являются ПСВ по модулю р_r, а числа каждой колонки являются ПСВ по модулю р_s.

Следовательно, в каждой строке и в каждой колонке есть по одному вычету такому, который не имеет своего близнеца.

При данном расположении чисел в таблице вычеты, не имеющие близнецов, составляют одну строку и одну колонку.

Любая строка и колонка имеют общий вычет, отсюда:

φ_2 (p_r p_s) = φ(р_r) (р_s) - (φ(р_s)) + 1 = (φ(р_r) - 1)(φ(р_s) - 1) =

φ_2(р_r) φ_2(p_s) = (р_r - 2)(р_s - 2)

На основании теоремы 3, полагая φ_2 (2) = 1, получим

φ_2 (М) = П φ_2 (р) =П (р – 2) ; р\М]]> vorvalm Высшая математикаSun, 19 Apr 2020 11:50:22 +0300 http://www.mathforum.ru/forum/read/1/96909/102160/#102160 Функция Эйлера второго порядкаhttp://www.mathforum.ru/forum/read/1/96909/102160/#102160вернемся немного назад к Бухштабу.
Полная система (ПС) вычетов по простому модулю $p$ образуется
из вычетов, взятых по одному из каждого класса по модулю р. Число их равно $p$.
Наименьшие натуральные вычеты ПС по модулю р: $1, 2, 3, .....p - 1, p.$
Вопрос. Сколько чисел в этой системе взаимно простых с модулем?
Из всех вычетов ПС только один р не взаимно простой с модулем р.
Отсюда число таких чисел равно $p - 1.$ Это и есть ПСВ по модулю р.
За основную ПСВ принимают ту, у которой натуральные вычеты меньше модуля.
Теперь переходим к более высокому порядку сортировки вычетов ПСВ.
Обозначим $a$ - вычет ПСВ, $d$ - четное число.
Вопрос. Сколько чисел $a + d$ взаимно простых с модулем $p$ и взаимно несравнимых
по модулю в ПСВ..
Оказывается, что число чисел $a + d$ в ПСВ зависит от разности $d.$
Если $(p,d)=1$, то число таких чисел равно $p-2=\varphi_2(p)$, ($p>2$)
Доказательство. Если $(p,d)=1$ и $p>d$, то $d=a_n$, т.е. является вычетом ПСВ(р) где всегда найдется
один вычет $a_m$, когда $a_m+a_n=a_m+d=p$ и $N(d)=\varphi(p)- 1=φ_2(p).$
Выражение $\varphi_2(p)=p-2$ назовем функцией Эйлера второго порядка по модулю $p$.
Если $p<d$, то $d=kp+a_n$ , ($a_n<p$) и $kp+a_n+a_m=p(k+1)$, т.е.$N(d)=φ_2(p)$.
Если $p|d$, то число этих чисел равно $p-1=\varphi(p).$.
Доказательство.
Если $p∣d$, то $d=kp$ и $a_n+kp$- вычет ПСВ(p), т.е. все вычеты ПСВ имеют разности $d$ и $N(d)=φ(p)$.
Необходимо доказать, что функции Эйлера второго порядка мультипликативна, и найти
формулу этой функции по составному модулю.]]> vorvalm Высшая математикаMon, 13 Apr 2020 12:47:07 +0300 http://www.mathforum.ru/forum/read/1/96909/101578/#101578 между прочимhttp://www.mathforum.ru/forum/read/1/96909/101578/#101578 vorvalm Высшая математикаFri, 06 Dec 2019 09:57:16 +0300 http://www.mathforum.ru/forum/read/1/96909/101574/#101574 простые числаhttp://www.mathforum.ru/forum/read/1/96909/101574/#101574
Кратности работають упорядочено а не в разбрось как показано.]]> ammo77 Высшая математикаFri, 06 Dec 2019 08:23:09 +0300 http://www.mathforum.ru/forum/read/1/96909/101551/#101551 ПСВhttp://www.mathforum.ru/forum/read/1/96909/101551/#101551- простые числа, составляющие модуль ПСВ ($p_r\#$) и кратные им
числа меньше модуля.
Общее число их В ПСВ равно $M(p_r)-\varphi(M),$ т.е. множество чисел
праймориала включает в себя вычеты ПСВ и невычеты ПСВ.
В свою очередь вычеты ПСВ состоят из простых и взаимно простых с модулем чисел.
Невычеты образуют классы чисел, не превосходящих модуль: $(n\in N)$
1) кратные $p=2,\;\;a_n=2n,$
2) кратные $p=3,\;\;a_n=3+6(n-1),$
3) кратные $p=5,$ cуперпозиция двух классов,
$a_n=5+30(n-1)$
$a_n=25+30(n-1)$
4) кратные $p=7,$ cуперпозиция 8-ми классов (ПСВ(30)),
$a_n=7+210(n-1)$
$a_n=49+210(n-1)$
$a_n=77+210(n-1)$
$a_n=91+210(n-1)$
$a_n=119+210(n-1)$
$a_n=133+210(n-1)$
$a_n=161+210(n-1)$
$a_n=203+210(n-1)$
5) кратные $p=11,$ cуперпозиция 48-ми классов (ПСВ(210)),
$a_n=11+2310(n-1)$
..........................................................................
..........................................................................
$a_n=2299+2310(n-1)$
6) кратные $p=13$. cуперпозиция 480-ти классов (ПСВ(2310)),
..........................................................................
7) кратные $p=17$ и т.д.

Вычеты ПСВ можно определять по формуле

$a_x=\mid \prod p_s^{\alpha_s}\pm\prod p_t^{\beta_t}\mid<M=\prod p_s\cdot p_t$
где $\alpha_s,\;\beta_t\in N.$

Порядковые номера вычетов здесь не определяются.

В чем преимущество рассмотрения закономерностей распределения
простых чисел с помощью ПСВ:
1) диапазон исследования ограничен модулем в отличии от
натурального ряда,
2) полная симметрия вычетов ПСВ относительно 0,5M

$M(p_r) - a_n=a_{\varphi(M)-n},$
3) в любой ПСВ есть интервал последовательных простых чисел

$1<p_{r+1}. . . . .p_n<p^2_{p_{r+1}}$
Определим, какую долю составляют простые числа среди вычетов ПСВ
по модулю $M=p_r\#.$
Число простых чисел в ПСВ по Чебышеву $\pi(M)-r\sim\frac M{lnM}$

Число вычетов ПСВ по Мертенсу $\varphi(M)\sim M\frac C{lnM}$

Их отношение $q$ = $\frac{\pi(M)-r}{\varphi(M)}\sim\frac{lnM}{ClnM}$, т.е. с ростом $p_r$ доля простых чисел в ПСВ уменьшается, но стремится к определенному пределу.
Практический расчет показывает следующий результат
М(7) = 210, q = 0,96
(11) 2310,- - - - 0,73
(13) 30030- - - -0,56
(17) 510510- - - -0,46
(19) 9699690- - -0,40
(23) 223092870- - 0,34]]> vorvalm Высшая математикаThu, 05 Dec 2019 12:15:51 +0300 http://www.mathforum.ru/forum/read/1/96909/101359/#101359 между прочимhttp://www.mathforum.ru/forum/read/1/96909/101359/#101359Могли бы хором сочинять..
Когда теряют чувство меры,
Невольно вспомнишь чью-то мать.]]> vorvalm Высшая математикаTue, 26 Nov 2019 14:34:43 +0300 http://www.mathforum.ru/forum/read/1/96909/101356/#101356 хмhttp://www.mathforum.ru/forum/read/1/96909/101356/#101356спой куплет ещё на бис нам)
[biggrin]]]> zklb (Дмитрий) Высшая математикаTue, 26 Nov 2019 12:30:58 +0300 http://www.mathforum.ru/forum/read/1/96909/101354/#101354 между прочимhttp://www.mathforum.ru/forum/read/1/96909/101354/#101354_ в одном лице вершит дела,
Ему нельзя мешать, не надо,
_ его Эвтерпа родила.

Ему подвластны интегралы,
Ему завидует Ферма,
А он все строчит эпиграммы
Из низкосортного дерьма.

Совсем забросил теоремы,
Стихами сеет тут и там,
Но только с рифмами проблемы,
хорей и ямб не по зубам

Хотелось бы напомнить кстати,
И на кого-то нечего пенять,
Каков поэт, таков и математик...
Ну, что тут можно с бедалаги взять ?]]> vorvalm Высшая математикаTue, 26 Nov 2019 10:18:30 +0300 http://www.mathforum.ru/forum/read/1/96909/101353/#101353 простые числаhttp://www.mathforum.ru/forum/read/1/96909/101353/#101353 ammo77 Высшая математикаTue, 26 Nov 2019 09:12:08 +0300 http://www.mathforum.ru/forum/read/1/96909/101352/#101352 хмhttp://www.mathforum.ru/forum/read/1/96909/101352/#101352сокрушая проблему гольдбаха.
правда вот, солидарен с ним
лишь дурашливый клоун бим[biggrin]]]> zklb (Дмитрий) Высшая математикаTue, 26 Nov 2019 08:49:31 +0300 http://www.mathforum.ru/forum/read/1/96909/101351/#101351 простые числаhttp://www.mathforum.ru/forum/read/1/96909/101351/#101351
Четное число 3+P не кратна 3 кроме 3.]]> ammo77 Высшая математикаMon, 25 Nov 2019 20:36:36 +0300