<?xml version="1.0" encoding="windows-1251"?>
<rss version="2.0" xmlns:dc="http://purl.org/dc/elements/1.1/">
<channel>
<title>Математический форум мехмата МГУ - Высшая математика</title>
<description>Консультации по решению прикладных задач высшей математики, обсуждение интересных и нестандартных математических задач и головоломок.</description><link>http://www.mathforum.ru/forum/list/1/</link><lastBuildDate>Thu, 09 Feb 2012 01:19:23 +0400</lastBuildDate>
<generator>Phorum 5.2.10</generator>
<item>
<guid>http://www.mathforum.ru/forum/read/1/47730/47730/#47730</guid>
<title>найти последнюю цифру... (4 replies)</title><link>http://www.mathforum.ru/forum/read/1/47730/47730/#47730</link><description><![CDATA[Есть задача:<br />Найдите последнюю цифру числа <span class="mathinline">$7^{(2012^{2011})} + 3^{(12^{11})}$</span>.<br />Пришёл к выводу, что <span class="mathinline">$2012^{2011}$</span> оканчивается на 4, из этого следует, что <span class="mathinline">$7^{(2012^{2011})}$</span> может оканчиваться на 9 или на 1.<br /><span class="mathinline">$12^{11}$</span> оканчивается на 8, из этого следует, что <span class="mathinline">$3^{(12^{11})}$</span> может оканчиваться тоже на 9 или на 1.<br />Подскажите пожалуйста, как быть дальше?]]></description>
<dc:creator>mf33333</dc:creator>
<category>Высшая математика</category><pubDate>Wed, 08 Feb 2012 22:57:23 +0400</pubDate></item>
<item>
<guid>http://www.mathforum.ru/forum/read/1/47717/47717/#47717</guid>
<title>Помогите! я по математикие ноль! (2 replies)</title><link>http://www.mathforum.ru/forum/read/1/47717/47717/#47717</link><description><![CDATA[Всем привет, итак у меня были проблемы по математике в школе, всю школу про валял дурака, сейчас учусь в универе на программиста, и как вы знаете программисту без математики не стать профи программистам, без нее не как.<br />хочу понять математику начиная со школьной программы до дискретной математики, итак я знаю только элементарные вещи такие как разделить,умножить,вычитать,добавить. можно ли мне коротко пройтись по темам элементарной математики допустим начать с дробей и потом перейти на квадратное уравнения а потом сразу к тригонометрию, или все темы прям учить? нужно как можно быстрее, вообще какие темы обязательны из Элементарной математика? для дальнейшего изучение дискретной математики???]]></description>
<dc:creator>starikan</dc:creator>
<category>Высшая математика</category><pubDate>Wed, 08 Feb 2012 12:43:24 +0400</pubDate></item>
<item>
<guid>http://www.mathforum.ru/forum/read/1/47716/47716/#47716</guid>
<title>Помогаем друг другу самообучаться (no replies)</title><link>http://www.mathforum.ru/forum/read/1/47716/47716/#47716</link><description><![CDATA[Привет всем!!!<br />Нашел тут в сети книжку и мой разум чуть не взорвался от восхищения - умеют же люди писать сложные вещи простым языком.<br />Книга называется <b>&quot;Линейная алгебра и её применения. Г. Стренг&quot;</b>.<br />Моё предложение выкладывать в теме книги которые написаны доступным языком,<br />пусть и не претендующие на глубокое изложение теории. Чайники и самоучки, как я, скажут вам большое спасибо. Вот, пожалуй, ещё один автор,<br />который писал свои математические книги для простых смертных:<br /><b>&quot;Высшая математика для начинающих физиков и техников. Я.Б. Зельдович, И.М. Яглом&quot;</b> - радуйтесь самоучки[wink]<br />Эта тема больше для чайников, поэтому просьба выкладывать книги соответсвующего уровня.<br />Желательно чтобы книги можно было легко найти в инете.<br /><br /><hr class="bbcode"/>
Делай добро и бросай его в воду.!!]]></description>
<dc:creator>maxmaiker</dc:creator>
<category>Высшая математика</category><pubDate>Wed, 08 Feb 2012 07:47:19 +0400</pubDate></item>
<item>
<guid>http://www.mathforum.ru/forum/read/1/47712/47712/#47712</guid>
<title>линейное пространство (no replies)</title><link>http://www.mathforum.ru/forum/read/1/47712/47712/#47712</link><description><![CDATA[доказать, что коммутативность сложения векторов вытекает из остальных аксиом линейного пространства]]></description>
<dc:creator>anonymous</dc:creator>
<category>Высшая математика</category><pubDate>Wed, 08 Feb 2012 00:03:48 +0400</pubDate></item>
<item>
<guid>http://www.mathforum.ru/forum/read/1/47711/47711/#47711</guid>
<title>теория вероятности (3 replies)</title><link>http://www.mathforum.ru/forum/read/1/47711/47711/#47711</link><description><![CDATA[Привет. Помогите определить вид закона распределение и верность попадания случайной величины в заданный интервал по эмпирической функции распределение и гистограмме относительных частот.Оценить статистическую связь рядом стоящих значений выборки.Напишите мне пожалуйста формулы.Заранее спасибо)]]></description>
<dc:creator>zina-kotova</dc:creator>
<category>Высшая математика</category><pubDate>Wed, 08 Feb 2012 15:28:07 +0400</pubDate></item>
<item>
<guid>http://www.mathforum.ru/forum/read/1/47710/47710/#47710</guid>
<title>Пределы. (no replies)</title><link>http://www.mathforum.ru/forum/read/1/47710/47710/#47710</link><description><![CDATA[Ребята, помогите пожалуйста, остался один долг, если сегодня не сдам, то могут отчислить.<br />Нужно найти два предела.<br /><br /><br /><span class="math">$ \lim_{x \to +\infty}({{\frac{1+tgxcos2x}{1+tgxcos5x}}})^{\frac{1}{x^3}}$</span><br /><br /><br /><span class="math">$\lim_{{x \to {\frac{\pi}{2}}} $</span> <span class="math">${sinx}^{6tgx*tg3x}$</span><br /><br /><br />Заранее спасибо.]]></description>
<dc:creator>michael</dc:creator>
<category>Высшая математика</category><pubDate>Tue, 07 Feb 2012 22:43:49 +0400</pubDate></item>
<item>
<guid>http://www.mathforum.ru/forum/read/1/47707/47707/#47707</guid>
<title>Математика и геометрия, работа с треугольником. (1 reply)</title><link>http://www.mathforum.ru/forum/read/1/47707/47707/#47707</link><description><![CDATA[Добрый день.<br /><br />У меня математическая задача.<br /><br />Eсть треугольник, образованными тремя точками, координаты которых известны.<br />Известна его площадь. Каждая точка привязана к своей прямой. Далее, изменяя координаты одной из точек, нужно подвинуть остальные точки, сохранив площадь треугольника.<br /><br />Визуально выглядит так:<br /><a href="http://img13.imageshost.ru/img/2012/02/07/image_4f31585c89729.png" >http://img13.imageshost.ru/img/2012/02/07/image_4f31585c89729.png</a><br /><br />Точки всегда привязаны к своей прямой.<br /><br />Есть ли математический аппарат для такого преобразования?]]></description>
<dc:creator>stepik</dc:creator>
<category>Высшая математика</category><pubDate>Tue, 07 Feb 2012 21:55:49 +0400</pubDate></item>
<item>
<guid>http://www.mathforum.ru/forum/read/1/47693/47693/#47693</guid>
<title>Господа, прошу Вас оставить свое мнение! (5 replies)</title><link>http://www.mathforum.ru/forum/read/1/47693/47693/#47693</link><description><![CDATA[Господа, прошу Вас оставить свое мнение!<br /><br />Имеем функцию Лагранжа: L(x,y,z) = x^2-8y^2+4z^2-3+ &#955;1(2x-y+3z-2)+&#955;2(x-3y-z-1)<br /><br />Находим второй дифференциал функции d^2L(x,y,z)= d^2L/dx^2*dx^2 + d^2L/dy^2*dy^2 +<br />+ d^2L/dz^2*dz^2=4dx^2+(-2)dy^2+8dz^2=<br />= 4x^3/3-2y^3/3+8z^3/3, подставляем х=3, у=4, z=1. =&gt; d^2L= 36 - 42.7 + 2.7 = - 4<br /><br />Правильно ли я сделал?<br />Заранее благодарен Вам за ответ!]]></description>
<dc:creator>evdokimov</dc:creator>
<category>Высшая математика</category><pubDate>Tue, 07 Feb 2012 18:41:36 +0400</pubDate></item>
<item>
<guid>http://www.mathforum.ru/forum/read/1/47689/47689/#47689</guid>
<title>Математический анализ (5 replies)</title><link>http://www.mathforum.ru/forum/read/1/47689/47689/#47689</link><description><![CDATA[Помогите пожалуйста док-ть:<br />Пусть функция <span class="math">$f$</span> непрерывна на отрезке <span class="math">$&#91;0,а&#93;$</span> и соблюдается: <span class="math">$f(а)=f(0)$</span><br /><br />Док-ть что существует точка <span class="math">$0\leq x_{0}\leq \frac{a}{2}$</span><br />, так что: <span class="math">$f\left (x_{0}+ \frac{a}{2} \right )=f\left ( x_{0} \right )$</span>.<br /><br /><br />Спасибо!]]></description>
<dc:creator>lisenka</dc:creator>
<category>Высшая математика</category><pubDate>Tue, 07 Feb 2012 19:49:10 +0400</pubDate></item>
<item>
<guid>http://www.mathforum.ru/forum/read/1/47680/47680/#47680</guid>
<title>Репетитор по высшей математике и теорвер и матстатистике в Москве (no replies)</title><link>http://www.mathforum.ru/forum/read/1/47680/47680/#47680</link><description><![CDATA[Учусь в экономическом вузе на втором курсе.<br />Нужно подтянуть учебу по двум указанным выше предметам.<br />Если у кого-то есть знакомые студенты старших курсов\аспиранты математики, которые не прочь заняться репетиторством, то будет здорово если вы им расскажете об этом.<br />О цене договоримся лично.<br />Просьба писать сюда: nebytov [at] gmail.com либо в ЛС.]]></description>
<dc:creator>crzrssn</dc:creator>
<category>Высшая математика</category><pubDate>Mon, 06 Feb 2012 20:02:39 +0400</pubDate></item>
<item>
<guid>http://www.mathforum.ru/forum/read/1/47677/47677/#47677</guid>
<title>Доказательство Последней теоремы Ферма (2 replies)</title><link>http://www.mathforum.ru/forum/read/1/47677/47677/#47677</link><description><![CDATA[<b> 1.<span class="math">$\;$</span> Значения сумм.</b><br /><br /><br />\rule{5mm}{0pt}Докажем следующую лемму, которая нам потребуется далее.<br />\vspace{5mm}<br /><br /><b>Лемма 1.</b><span class="math">$\quad$</span><i> Для любых целых <span class="mathinline">$a$</span> и <span class="mathinline">$b$</span><br />и любого нечетного простого <span class="mathinline">$p$</span> сумма</i><br /><span class="math">$
\sum_{i=1}^{p-1}\binom{p}{i}\,a^{p-i}\,b^i = p\,a\,b\,(a+b)\,\left&#91;b\,(a+b)\,M+a^{p-3}\right&#93;, 
$</span><br /><i> где <span class="mathinline">$M$</span> -- натуральное число.</i><br /><br /><br /><br />Поскольку при любом простом <span class="mathinline">$p&gt;2$</span> число членов в сумме всегда четно и все симметрично расположенные члены имеют одинаковые коэффициенты, то, скомбинировав все члены с одинаковыми коэффициентами, получим<br /><br /><span class="math">$ 
\sum_{i=1}^{p-1}\,\binom{p}{i}\,a^{p-i}\,b^i=\sum_{j=1}^{\frac{p-1}{2}}\binom{p}{j}\,a^j\,b^j\,(a^{p-2j}+b^{p-2j})
$</span><br /><br />Все биномиальные коэффициенты под знаком суммы кратны <span class="mathinline">$p$</span>. Действительно,<br /><span class="math">$ \frac{i}{p}\binom{p}{i}=\binom{p-1}{i-1}$</span><br /><br />Поскольку <span class="mathinline">$i$</span> меняется в диапазоне от 1 до <span class="mathinline">$p-1$</span>, то для всех <span class="mathinline">$i$</span> из этого диапазона <span class="mathinline">$(p,i)=1$</span>,<br />следовательно, <span class="mathinline">$p\;|\;\binom{p}{i}$</span>.<br /><br />Все показатели степени <span class="mathinline">$p-2j$</span> -- нечетные, следовательно, все<br /><span class="mathinline">$a^{p-2j}+b^{p-2j}$</span> делятся на <span class="mathinline">$a+b$</span>. Таким образом,<br />все члены суммы делятся на <span class="mathinline">$pab(a+b)$</span><br /><span class="math">$ 
\frac{1}{p\,a\,b\,(a+b)}\sum_{i=1}^{p-1}\,\binom{p}{i}\,a^{p-i}\,b^i=
\sum_{j=1}^{\frac{p-1}{2}}\frac{1}{p}\,\binom{p}{j}\,a^{j-1}\,b^{j-1}\,\frac{a^{p-2j}+b^{p-2j}}{a+b}
=\sum_{j=1}^{\frac{p-1}{2}}\frac{1}{p}\,\binom{p}{j}\,S_j
$</span><br /><br />Для наглядности поместим все данные в таблицу<br /><br />\begin{tabular}{ccccccccccc}<br />j&amp;<span class="mathinline">$m_j$</span> &amp;&amp;&amp;&amp;&amp;<span class="mathinline">$S_j$</span>\\<br />&amp;&amp;\\<br />\hline<br />&amp;&amp;\\<br />1 &amp; 1 &amp; <span class="mathinline">$b^{p-3}$</span> &amp; <span class="mathinline">$-ab^{p-4}$</span> &amp;<br /><span class="mathinline">$+a^2b^{p-5}$</span> &amp; <span class="mathinline">$\cdots$</span> &amp;<br /><span class="mathinline">$-a^{^{\frac{p-3}{2}}}b^{^{\frac{p-3}{2}}}$</span> &amp; <span class="mathinline">$\cdots$</span>&amp;<span class="mathinline">$+a^{p-5}b^2$</span> &amp; <span class="mathinline">$-a^{p-4}b$</span> &amp; <span class="mathinline">$+a^{p-3}$</span>\\<br />&amp;&amp;\\<br />2 &amp; <span class="mathinline">$\frac{1}{p}\binom{p}{2}$</span> &amp; &amp; <span class="mathinline">$+ab^{p-4}$</span> &amp;<br /><span class="mathinline">$-a^2b^{p-5}$</span> &amp; <span class="mathinline">$\cdots$</span> &amp;<br /><span class="mathinline">$+a^{^{\frac{p-3}{2}}}b^{^{\frac{p-3}{2}}}$</span> &amp; <span class="mathinline">$\cdots$</span> &amp; <span class="mathinline">$-a^{p-5}b^2$</span> &amp; <span class="mathinline">$+a^{p-4}b$</span>\\<br />&amp;&amp;\\<br />3 &amp; <span class="mathinline">$\frac{1}{p}\binom{p}{3}$</span> &amp; &amp; &amp; <span class="mathinline">$+a^2b^{p-5}$</span> &amp; <span class="mathinline">$\cdots$</span> &amp; <span class="mathinline">$-a^{^{\frac{p-3}{2}}}b^{^{\frac{p-3}{2}}}$</span> &amp; <span class="mathinline">$\cdots$</span> &amp; <span class="mathinline">$+a^{p-5}b^2$</span> \\<br />&amp;&amp;\\<br /><span class="mathinline">$\cdots$</span> &amp; <span class="mathinline">$\cdots$</span>&amp;&amp;&amp;&amp;<span class="mathinline">$\cdots$</span>\\<br />&amp;&amp;\\<br /><span class="mathinline">$\frac{p-1}{2}$</span> &amp; <span class="mathinline">$\frac{1}{p}\binom{p}{\frac{p-1}{2}}$</span> &amp; &amp; &amp; &amp; &amp;<span class="mathinline">$+a^{^{\frac{p-3}{2}}}b^{^{\frac{p-3}{2}}}$</span> \\<br />\end{tabular}<br />\vspace{7mm}<br /><br />Сложив все члены таблицы и приведя подобны члены, получим сумму<br /><span class="math">$
b^{p-3}+k_1ab^{p-4}+k_2a^2b^{p-5}+ \cdots +k_{\frac{p-1}{2}}a^{\frac{p-3}{2}}b^{\frac{p-3}{2}}+\cdots+k_2a^{p-5}b^2+k_1a^{p-4}b+a^{p-3} 
$</span><span class="math">$\qquad\qquad\qquad$</span> (1)<br /><br />Нам не потребуются значения коэффициентов <span class="mathinline">$k_i$</span>. Единственное, что следует здесь отметить, что все они положительные и все симметрично расположенные коэффициенты равны между собой.<br /><br />Число членов в (1) всегда нечетно и равно <span class="mathinline">$p-2$</span>. И только два члена не кратны <span class="mathinline">$ab$</span>.<br />Если в (1) отбросить, например, <span class="mathinline">$a^{p-3}$</span> и разделить остаток на<br /><span class="mathinline">$b$</span>, то получим<br /><span class="math">$ M_b=b^{p-4}+k_1ab^{p-5}+k_2a^2b^{p-6}+ \cdots +k_{\frac{p-1}{2}}a^{\frac{p-3}{2}}b^{\frac{p-5}{2}}+\cdots+k_2a^{p-5}b+k_1a^{p-4}$</span><br /><br />Отбросив в (1) <span class="mathinline">$b^{p-3}$</span> и разделив остаток на <span class="mathinline">$a$</span>, получим<br /><span class="math">$ M_a= k_1b^{p-4}+k_2ab^{p-5}+ \cdots +k_{\frac{p-1}{2}}a^{\frac{p-5}{2}}b^{\frac{p-3}{2}}+\cdots+k_2a^{p-6}b^2+k_1a^{p-5}b+a^{p-4}$</span><br /><br />Теперь, используя значения <span class="mathinline">$M_b$</span> и <span class="mathinline">$M_a$</span>, можем записать<br /><span class="math">$\frac{1}{p\,a\,b\,(a+b)}\,\sum_{i=1}^{p-1}\,\binom{p}{i}\,a^{p-i}\,b^i = bM_b+a^{p-3} = aM_a +b^{p-3}$</span><br />Или<br /><span class="math">$ bM_b-aM_a = b^{p-3}-a^{p-3}$</span><br /><br />Поскольку <span class="mathinline">$p-3$</span> -- это четное число, то <span class="mathinline">$(a+b)\,|\,(b^{p-3}-a^{p-3})
$</span> при любом простом <span class="mathinline">$p\ge3$</span>, следовательно,<br /><span class="math">$ bM_b - aM_a\equiv 0\;\;\;(mod\;\;a+b)$</span><span class="math">$\qquad\qquad\qquad$</span>(2)<br /><br />Найдем теперь значение <span class="mathinline">$M_b+M_a$</span>.<br /><span class="math">$ M_b+M_a &#91;math&#93;= (k_1+1)(b^{p-4}+a^{p-4})+(k_1+k_2)ab(b^{p-6}+a^{p-6})\\
&amp;&amp;+(k_2+k_3)a^2b^2(b^{p-8}+a^{p-8})+\cdots
+(k_{\frac{p-3}{2}}+k_{\frac{p-1}{2}})a^{\frac{p-5}{2}}b^{\frac{p-5}{2}}(a+b)
$</span><br /><br />Поскольку при любом нечетном <span class="mathinline">$p$</span> значения всех показателей степени в скобках -- это нечетные числа, то все скобки кратны <span class="mathinline">$a+b$</span>, следовательно<br /><span class="math">$ M_b + M_a \equiv 0\;\;\;(mod\;\;a+b) $</span><span class="math">$\qquad\qquad\qquad$</span> (3)<br /><br />Сравнения (2) и (3) верны при любых <span class="mathinline">$a$</span> и <span class="mathinline">$b$</span> и при любых простых <span class="mathinline">$p&gt;2$</span>. И это возможно только, если <span class="mathinline">$(a+b)\,|\,M_a$</span><br />и <span class="mathinline">$(a+b)\,|\,M_b$</span>.<br /><br />Итак, окончательно получаем<br /><span class="math">$ 
\sum_{i=1}^{p-1}\,\binom{p}{i}\,a^{p-i}\,b^i = p\,a\,b\,(a+b)\,\left&#91;b\,(a+b)\,M+a^{p-3}\right&#93;=$</span> <span class="math">$\qquad\qquad\qquad$</span> (4)<br /><span class="math">$ = p\,a\,b\,(a+b)\,\left&#91;a\,(a+b)\,N+b^{p-3}\right&#93;,$</span><br /><br />где <span class="mathinline">$a,\,b$</span> -- любые целые числа, <span class="mathinline">$p$</span> -- любое простое нечетное число, а <span class="mathinline">$M,\,и\,N$</span> -- натуральные<br />числа, значения которых зависят от <span class="mathinline">$a,\,b$</span> и <span class="mathinline">$p$</span>.<br /><br />Лемма доказана.<br /><br />Наиболее простые частные решения получаются при <span class="mathinline">$p=3$</span> и при <span class="mathinline">$p=5$</span>. При<br /><span class="mathinline">$p=3$</span> <span class="mathinline">$M=N =0$</span>, и при <span class="mathinline">$p=5$</span> <span class="mathinline">$M=N=1$</span>.<br /><br />Поскольку при выводе формулы (4) мы приняли, что <span class="mathinline">$a$</span> и <span class="mathinline">$b$</span> -- это любые целые числа, то, заменив в (4) <span class="mathinline">$b$</span> на <span class="mathinline">$-b$</span>, получим<br /><span class="math">$ 
\sum_{i=1}^{p-1}\,(-1)^i\,\binom{p}{i}\,a^{p-i}\,b^i &amp;=&amp; -p\,a\,b\,(a-b)\,\left&#91;b\,(a-b)\,M+a^{p-3}\right&#93;$</span><span class="math">$\qquad\qquad\qquad$</span>(5)<br /><span class="math">$ = -p\,a\,b\,(a-b)\,\left&#91;a\,(a-b)\,N+b^{p-3}\right&#93;$</span><br /><br /><br /><b> 2.<span class="math">$\;$</span> Доказательство Последней теоремы Ферма.</b><br /><br /><br />Последняя теорема Ферма (ПФТ) утверждает, что<br /><br />\begin{tabular}{lp{120mm}}<br />\rule{10mm}{0pt} &amp;<br />{\itshape Уравнение}<br /><span class="math">$ a^n + b^n = c^n $</span><span class="math">$\qquad\qquad\qquad$</span>(6)<br />{\itshape не имеет решений в натуральных числах для любого натурального} <span class="mathinline">$n &gt; 2$</span>.<br />\end{tabular}<br />\vspace{6mm}<br /><br />При решении уравнения (6) можно ограничиться случаем, когда <span class="mathinline">$a,b$</span> и <span class="mathinline">$c$</span> являются взаимно простыми числами. Очевидно, если есть решение для взаимно простых <span class="mathinline">$(a_1,b_1,c_1)$</span>, то тройка<br /><span class="mathinline">$(da_1,db_1,dc_1)$</span> также будет решением при любом натурально <span class="mathinline">$d$</span>.<br /><br /><br />У Ферма есть теорема, относящаяся к свойствам решения уравнения Пифагора [1]. Она утверждает, что &quot;Нет пифагоровых треугольников, у которых хотя бы две стороны были квадратами&quot;. Алгебраически это означает, что уравнение<br /><span class="math">$ a^4 + b^4 = c^4$</span><br />не имеет решений в натуральных числах. Следовательно, не имеет натуральных решений любое уравнение<br /><span class="math">$ a^{4k} + b^{4k} = c^{4k},$</span><br />где <span class="mathinline">$k$</span> -- любое натуральное число.<br /><br />Таким образом, для всех показателей типа <span class="mathinline">$4k$</span> ПТФ давно доказана. Остается доказать ПТФ для всех остальных возможных значений показателей.<br /><br />Все натуральные числа, б\'{о}льшие двух и не кратные 4--м, -- это все нечетные числа и все четные числа типа <span class="mathinline">$2m$</span>, где<br /><span class="mathinline">$m&gt;1$</span> -- любое нечетное натуральное число. Все эти числа имеют общее свойство. Их каноническая форма обязательно<br />содержит хотя бы одно нечетное простое число. Любое такое число можно записать как <span class="mathinline">$pN$</span>, где <span class="mathinline">$p$</span> какое--либо простое<br />нечетное число, а <span class="mathinline">$N$</span> любое, не кратное четырем, натуральное число. Если показатель степени в уравнении (6) является<br />одним из таких чисел (<span class="mathinline">$n=pN$</span>) и уравнение имеет решения, то должны быть решения и уравнения<br /><span class="math">$ \left(a^N\right)^p + \left(b^N\right)^p = \left(c^N\right)^p $</span><br /><br />Отсюда видно, что для доказательства ПТФ необходимо и достаточно доказать, что уравнение (6) не имеет решений, если показатель степени равен любому нечетному простому числу <span class="mathinline">$p$</span>.<br /><span class="math">$ a^p + b^p = c^p $</span><span class="math">$\qquad\qquad\qquad$</span>(7)<br /><br />Любое число <span class="mathinline">$a^p$</span> можно представить в виде<br /><span class="math">$ a^p=a+pN_a $</span><br />Действительно, всегда найдется, удовлетворяющее этому уравнению, натуральное число<br /><span class="math">$ N_a = \frac{a\;(a^{p-1}-1)}{p},$</span><br />поскольку <span class="mathinline">$p\,|\,a\;(a^{p-1}-1)$</span> при любых <span class="mathinline">$a$</span> и <span class="mathinline">$p$</span>.<br /><br />Аналогично имеем<br /><span class="math">$ b^p = b + pN_b,\,\,\,c^p = c + pN_c$</span><br /><br />Подставив эти значения в уравнение (7), получим<br /><span class="math">$ p\left(N_a + N_b - N_c\right) = c-a-b$</span><br /><br />Из последнего равенства следует, что для любого решения уравнения (7) должно выполняться<br />условие: <span class="mathinline">$p\,|\,(c-a-b)$</span>.<br />Решения, в которых <span class="mathinline">$a,b$</span> и <span class="mathinline">$c$</span> кратны <span class="mathinline">$p$</span>, не подходят, поскольку мы приняли, что все три числа попарно взаимно простые.<br />Остается два варианта: либо одно из чисел кратно <span class="mathinline">$p$</span>, либо на <span class="mathinline">$p$</span> не делится ни одно из чисел.<br /><br />Допустим, что одно из чисел кратно <span class="mathinline">$p$</span>, например, <span class="mathinline">$c=pc_1$</span>. Тогда <span class="mathinline">$p$</span> должно делить <span class="mathinline">$a+b$</span>. Подставив<br />значение <span class="mathinline">$c=pc_1$</span> в уравнение (7), получим<br /><span class="math">$ a^p + b^p = p^p\,c_1^p $</span><br /><span class="math">$ p^p\,\left(\frac{a + b}{p}\right)^p - \sum_{i=1}^{p-1}\,\binom{p}{i}\,a^{p-i}\,b^i = p^p\,c_1^p $</span><br /><br />С учетом (4) окончательно получаем<br /><span class="math">$ p^p\,\left(\frac{a + b}{p}\right)^p - p\,a\,b\,(a+b)\,\left&#91;b\,(a+b)\,M+a^{p-3}\right&#93; = p^p\,c_1^p $</span><br /><br />Очевидно, что это уравнение не имеет натуральных решений при <span class="mathinline">$p\ge 3$</span>: два члена кратны <span class="mathinline">$p^p$</span>, а один кратен лишь <span class="mathinline">$p^2$</span>.<br />Наше предположение <span class="mathinline">$p\,|\,c$</span> оказалось неверным.<br /><br />Допустим, что <span class="mathinline">$p\;|\;a$</span>, тогда разность <span class="mathinline">$c-b$</span> должна быть кратна <span class="mathinline">$p$</span>. Подставив значение <span class="mathinline">$a=pa_1$</span> в уравнение (7), получим<br /><span class="math">$ p^pa_1^p = p^p\left(\frac{c - b}{p}\right)^p - \sum_{i=1}^{p-1}(-1)^i\binom{p}{i}c^{p-i}b^i$</span><br /><br />С учетом (5) получим<br /><span class="math">$ p^pa_1^p = p^p\left(\frac{c - b}{p}\right)^p + p\,c\,b\,(c-b)\,\left&#91;c\,(c-b)\,M+b^{p-3}\right&#93;$</span><br /><br />И это уравнение не имеет натуральных решений. Ни в каком решении уравнения (7) <span class="mathinline">$a$</span> не может быть кратно <span class="mathinline">$p$</span>.<br /><br />Если <span class="mathinline">$b=p\,b_1$</span>, то получается аналогичная картина<br /><span class="math">$ p^pb_1^p = p^p\left(\frac{c - a}{p}\right)^p + p\,c\,a\,(c-a)\,\left&#91;c\,(c-a)\,M+a^{p-3}\right&#93;$</span><br /><br />Итак, доказано, что уравнение (7) не имеет натуральных решений, если одно из значений переменных (<span class="mathinline">$a,\;b$</span> или <span class="mathinline">$c$</span>) кратно <span class="mathinline">$p$</span>.<br /><br />Рассмотрим вариант, когда <span class="mathinline">$p$</span> не является делителем ни <span class="mathinline">$a$</span>, ни <span class="mathinline">$b$</span>, ни <span class="mathinline">$c$</span>. В этом случае имеем<br /><span class="math">$ a = tp+r_a,\;\;b = sp+r_b,\;\;c = vp + r_c,$</span><span class="math">$\qquad\qquad\qquad$</span>(8)<br />где <span class="mathinline">$\;\;0&lt;r_a&lt;p,\;\;0&lt;r_b&lt;p,\;\;0&lt;r_с&lt;p$</span>. И из<br /><span class="math">$ a + b \equiv c\;\;\;(mod\;\;p)$</span><br />следует, что либо <span class="mathinline">$r_a + r_b = r_c$</span>, либо <span class="mathinline">$r_a + r_b = p+r_c$</span>.<br /><br />Подставим значения (9) в (7)<br /><span class="math">$ (tp+r_a)^p + (sp+r_b)^p = (vp + r_c)^p$</span>\qquad\qquad\qquad[/math](9)<br /><span class="math">$ 
\sum_{i=0}^{p-1}\binom{p}{i}\;p^{p-i}\left(t^{p-i}r_a^i + s^{p-i}r_b^i - v^{p-i}r_c^i\right) = r_c^p - (r_a^p + r_b^p)
$</span><br /><br />Левая часть последнего уравнения кратна <span class="mathinline">$p^2$</span>, а правая часть кратна лишь <span class="mathinline">$p$</span>.<br />Действительно, при <span class="mathinline">$r_a + r_b = r_c$</span><br /><span class="math">$ 
r_c^p - (r_a^p + r_b^p) = r_c(r_c^{p-1}-1) -r_a(r_a^{p-1}-1)-r_b(r_b^{p-1}-1)
$</span><br /><br />А при <span class="mathinline">$r_a + r_b = p+r_c$</span><br /><span class="math">$ 
r_c^p - (r_a^p + r_b^p) =r_c(r_c^{p-1}-1)-p-r_a(r_a^{p-1}-1)-r_b(r_b^{p-1}-1)
$</span><br /><br />Итак, доказано, что при любом простом нечетном показателе степени уравнение (6) не имеет натуральных решений. Следовательно, оно не имеет натуральных решений и при любом составном показателе степени <span class="mathinline">$\ge3$</span>.<br /><br />Теорема доказана.<br /><br /><b> Литература </b><br /><br />1.[/math]\qquad[/math]В. Серпинский<br /><br />Пифагоровы треугольники. Учпедгиз, 1959 г.]]></description>
<dc:creator>falconer</dc:creator>
<category>Высшая математика</category><pubDate>Mon, 06 Feb 2012 22:04:23 +0400</pubDate></item>
<item>
<guid>http://www.mathforum.ru/forum/read/1/47676/47676/#47676</guid>
<title>Теория вероятности! Помогите! (1 reply)</title><link>http://www.mathforum.ru/forum/read/1/47676/47676/#47676</link><description><![CDATA[1. Брошены 3 игральные кости. Найти вер-ть того, что на 2-х выпавших гранях появится &quot;1&quot; очко, а на третьей грани - другое число очков.<br />2. В ящик, содержащий 3 одинаковых детали брошена стандартная деталь. А затем наудачу извлечена одна деталь. Найти вер-ть того, что извлечена стандартная деталь, если равно вероятны все возможные предположения о числе стандартных деталий, первоначально находящихся в ящике.]]></description>
<dc:creator>bull</dc:creator>
<category>Высшая математика</category><pubDate>Mon, 06 Feb 2012 19:14:15 +0400</pubDate></item>
<item>
<guid>http://www.mathforum.ru/forum/read/1/47667/47667/#47667</guid>
<title>Геометрическая Прогрессия! (9 replies)</title><link>http://www.mathforum.ru/forum/read/1/47667/47667/#47667</link><description><![CDATA[Помогите решить следующую задачу...<br /><br />1. Сколько пиявок продал Андрей за год, если в 1-й месяц он продал 2000, и число проданных пиявок ежемесячно увеличивалось на 4%?<br /><br />Пробовал через Sn=b1*(1-q^n)/(1-q) вышло 2083,33... но правильный ответ 30052, как это найти не могу понять...<br /><br />Объясните если кто понимает в этом! Заранее спасибо!]]></description>
<dc:creator>crick</dc:creator>
<category>Высшая математика</category><pubDate>Tue, 07 Feb 2012 20:38:19 +0400</pubDate></item>
<item>
<guid>http://www.mathforum.ru/forum/read/1/47665/47665/#47665</guid>
<title>помогите убрать модуль (3 replies)</title><link>http://www.mathforum.ru/forum/read/1/47665/47665/#47665</link><description><![CDATA[|6 + 5*exp(-iw) + exp(-2iw)|<br /><br />|6 + 5*(cos(w) - i sin(w)) + (cos(w) - 2i sin(w))| = |-7i*sin(w) + 6*cos(w) + 6| = 7i*sin(w) + 6*cos(w) + 6<br /><br />Это верно?<br />Извиняюсь, что не оформил как надо, но вроде тут и так всё просто читается.]]></description>
<dc:creator>carlos0n</dc:creator>
<category>Высшая математика</category><pubDate>Mon, 06 Feb 2012 14:26:49 +0400</pubDate></item>
<item>
<guid>http://www.mathforum.ru/forum/read/1/47661/47661/#47661</guid>
<title>Время Мерседеса (5 replies)</title><link>http://www.mathforum.ru/forum/read/1/47661/47661/#47661</link><description><![CDATA[Подскажите решение, если оно существует.<br />Обычные часы, будь то наручные или настенные неважно.<br />Я задумался, бывает ли в течении дня (или ночи (короче за 12 часов)) такое положение стрелок когда углы между тремя стрелками равны (120градусов, как у мерседеса) или время когда они максимально приближаются к этому значению (~120~120~120).]]></description>
<dc:creator>memphis</dc:creator>
<category>Высшая математика</category><pubDate>Wed, 08 Feb 2012 14:26:28 +0400</pubDate></item>
<item>
<guid>http://www.mathforum.ru/forum/read/1/47646/47646/#47646</guid>
<title>задачка на формулу Лейбница. (4 replies)</title><link>http://www.mathforum.ru/forum/read/1/47646/47646/#47646</link><description><![CDATA[Пожалуйста, выручайте.<br />Условие задачи по ссылки.<br /><br />http://www.cyberforum.ru/differential-equations/thread441318.html#post2461825]]></description>
<dc:creator>leeto</dc:creator>
<category>Высшая математика</category><pubDate>Sun, 05 Feb 2012 19:48:03 +0400</pubDate></item>
<item>
<guid>http://www.mathforum.ru/forum/read/1/47641/47641/#47641</guid>
<title>Исследовать функцию и построить ее график y=(x-1)(x+1) (1 reply)</title><link>http://www.mathforum.ru/forum/read/1/47641/47641/#47641</link><description><![CDATA[Исследовать функцию и построить ее график y=(x-1)(x+1)]]></description>
<dc:creator>tolian92</dc:creator>
<category>Высшая математика</category><pubDate>Sun, 05 Feb 2012 19:13:37 +0400</pubDate></item>
<item>
<guid>http://www.mathforum.ru/forum/read/1/47640/47640/#47640</guid>
<title>помогите найти интеграл (no replies)</title><link>http://www.mathforum.ru/forum/read/1/47640/47640/#47640</link><description><![CDATA[Интегрировать уравнение от 0 до t:<span class="math">$dA/dt=k1-k2*A$</span><br />где <span class="math">$A=V*C$</span><br /><br />Должно получиться:<br /><span class="math">$С=k1/(k2*V)*&#91;1-exp(-k2*t)&#93;$</span><br /><br />Не могу понять, как так получилось(]]></description>
<dc:creator>nutius</dc:creator>
<category>Высшая математика</category><pubDate>Sun, 05 Feb 2012 17:54:38 +0400</pubDate></item>
<item>
<guid>http://www.mathforum.ru/forum/read/1/47634/47634/#47634</guid>
<title>дифференциальное уравнение y&quot;-x=4tg2x (10 replies)</title><link>http://www.mathforum.ru/forum/read/1/47634/47634/#47634</link><description><![CDATA[помогите заочнику]]></description>
<dc:creator>katiazkts</dc:creator>
<category>Высшая математика</category><pubDate>Sun, 05 Feb 2012 20:11:28 +0400</pubDate></item>
<item>
<guid>http://www.mathforum.ru/forum/read/1/47631/47631/#47631</guid>
<title>Помогите решить задачу на непрерывность (6 replies)</title><link>http://www.mathforum.ru/forum/read/1/47631/47631/#47631</link><description><![CDATA[Доброго времени суток. Помогите решить пожалуйста задачку : Задана функция y=f(x). Исследовать точки разрыва функции, если они существуют. Сделать схематический чертеж.<br /><br />система - <a href="http://s018.radikal.ru/i509/1202/88/5ea49375373c.jpg" >http://s018.radikal.ru/i509/1202/88/5ea49375373c.jpg</a>]]></description>
<dc:creator>denprox</dc:creator>
<category>Высшая математика</category><pubDate>Sun, 05 Feb 2012 20:46:40 +0400</pubDate></item>
<item>
<guid>http://www.mathforum.ru/forum/read/1/47630/47630/#47630</guid>
<title>Предел и непрерывность, взаимосвязь. (1 reply)</title><link>http://www.mathforum.ru/forum/read/1/47630/47630/#47630</link><description><![CDATA[Изучаю мат.анализ по книге Камынин Л.И. &quot;Курс математического анализа&quot; Т.1, изд. МГУ 2001г.<br />Как я понял, понятия предела и непрерывности очень похожи, только для предела рассматриваются проколотые окрестности (в пересечении с областью определения функции), а для непрерывности полные. Но тогда получается, что в изолированных точках функция непрерывна, а предел не существует, так как изолированные точки не являются предельными. Тогда как понимать &quot;Замечание&quot; на стр.93, что <span class="math">$f\inC(x_{0})\Leftrightarrow(\exists\lim_{B}f(x)=f(x_{0}))$</span>. Если в изолированных точках предел не существует, однако функция непрерывна?<br />Правда там есть оговорка: &quot;<span class="math">$B=U(x_{0})\capM$</span> (подчеркнём, что <span class="math">$U(x_{0})$</span> <b>полная</b>, а не проколотая окрестность точки <span class="math">$x_{0}\inM$</span>)&quot; Т.е. по умолчанию подразумевается, надо полагать, что существует предел по базе полных окрестностей, какое-то другое определение предела, где рассматриваются не проколотые, а полные окрестности. Такого определения я не нашёл.<br /><br />Я использовал указанную книку и определения:<br />1. предельной точки - стр.41 <i>(На стр.41 в определении предельной точки опечатка, там должен стоять значок проколотой окрестности, а не внутренности этой окрестности). В вики, а значит и на данном форуме, нет знака внутренности множества, поэтому изъясняюсь словами.</i><br />2. предел функции - стр.49<br />3. непрерывность в точке - стр.93<br /><br />Если положить, что в книге всё верно, то в чём ошибаюсь я? По моему <span class="math">$f\inC(x_{0})\Leftrightarrow(\exists\lim_{B}f(x)=f(x_{0}))$</span> верно только в одну сторону, а именно <span class="math">$f\inC(x_{0})\Leftarrow(\exists\lim_{B}f(x)=f(x_{0}))$</span>, так как в изолированных точках пределы не существуют, но они считаются, по определению непрерывности, - непрерывными.]]></description>
<dc:creator>metron</dc:creator>
<category>Высшая математика</category><pubDate>Sun, 05 Feb 2012 21:05:52 +0400</pubDate></item>
<item>
<guid>http://www.mathforum.ru/forum/read/1/47624/47624/#47624</guid>
<title>Помогите решить примеры на тему Ряды (1 reply)</title><link>http://www.mathforum.ru/forum/read/1/47624/47624/#47624</link><description><![CDATA[Нужны подробные решения следующих задач:<br /><a href="http://img28.imageshack.us/img28/2605/sam1354.jpg" >http://img28.imageshack.us/img28/2605/sam1354.jpg</a> - примеры<br /><br />1.Исследовать ряд на сходимость<br />2.Найти сумму ряда с заданной точностью<br />3.Найти облость сходимости ряда<br />4.Исследовать на аналитичность с помощью условий Коши<br />5.Вычислить контурный интеграл(изображ.,особые точки)<br />6.Решить дифф. ур-я операторным методом.]]></description>
<dc:creator>catlol00000</dc:creator>
<category>Высшая математика</category><pubDate>Sat, 04 Feb 2012 23:11:42 +0400</pubDate></item>
<item>
<guid>http://www.mathforum.ru/forum/read/1/47618/47618/#47618</guid>
<title>функции и ряды (1 reply)</title><link>http://www.mathforum.ru/forum/read/1/47618/47618/#47618</link><description><![CDATA[Используя формулы для радиуса сходимости степенных рядов, определить аналитически интервалы сходимости ряда:<br /><span class="math">$&#8721;_(n=1)^&#8734;&#9618;&#12310;(n/(2n+1))^(2n-1) x^n &#12311;$</span>]]></description>
<dc:creator>adam</dc:creator>
<category>Высшая математика</category><pubDate>Sat, 04 Feb 2012 20:39:31 +0400</pubDate></item>
<item>
<guid>http://www.mathforum.ru/forum/read/1/47615/47615/#47615</guid>
<title>Как решить предел (6 replies)</title><link>http://www.mathforum.ru/forum/read/1/47615/47615/#47615</link><description><![CDATA[<span class="math">$\lim_{x \to 0}{\frac{1-\sqrt{\cosx + x}}{\root{5}{1 - 15x}-1}}$</span><br />при упрощении знаменателя в итоге получилось 3х, а вот в числителе запуталась.]]></description>
<dc:creator>indakoti</dc:creator>
<category>Высшая математика</category><pubDate>Sun, 05 Feb 2012 07:12:27 +0400</pubDate></item>
<item>
<guid>http://www.mathforum.ru/forum/read/1/47610/47610/#47610</guid>
<title>Тригонометрическое уравнение (2 replies)</title><link>http://www.mathforum.ru/forum/read/1/47610/47610/#47610</link><description><![CDATA[...<br />Theme is closed by topic starter]]></description>
<dc:creator>antisanta</dc:creator>
<category>Высшая математика</category><pubDate>Sat, 04 Feb 2012 00:34:18 +0400</pubDate></item>
<item>
<guid>http://www.mathforum.ru/forum/read/1/47604/47604/#47604</guid>
<title>Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями (4 replies)</title><link>http://www.mathforum.ru/forum/read/1/47604/47604/#47604</link><description><![CDATA[Помогите пожалуйсто.<br /><br />z=3x+2y<br /><br />y=4/3*квадратный корень из(9-x^2)<br /><br />x=y=z=0]]></description>
<dc:creator>sfpro</dc:creator>
<category>Высшая математика</category><pubDate>Fri, 03 Feb 2012 23:42:53 +0400</pubDate></item>
<item>
<guid>http://www.mathforum.ru/forum/read/1/47602/47602/#47602</guid>
<title>Уравнение Пелля (no replies)</title><link>http://www.mathforum.ru/forum/read/1/47602/47602/#47602</link><description><![CDATA[Уравнение Пелля<br />Так с подачи (ошибочной) великого Л. Эйлера принято называть равенство, которое П. Ферма сформулировал так: «если дано произвольное число, которое не является квадратом, то найдется также и бесконечное количество таких квадратов, что если этот квадрат умножить на данное число и к произведению добавить единицу, то результат будет квадратом». Сейчас это утверждение на языке алгебры принято записывать в виде равенства <span class="math">$A=\frac{y^2-1}{x^2}$</span>. Решению этой задачи за прошедшее время и профессиональные математики и любители потратили не меньше усилий, чем на доказательство ВТФ- «последнего утверждения» П. Ферма. За прошедшие века найдены доказательства верности утверждения при любом <span class="math">$A$</span>. Первым это доказал через 110 лет Лагранж. Имеется также доказательство 20 века – доказательство А.О. Гельфонда. Однако А.О. Гельфонд заканчивает своё доказательство фразой: «Практически наименьшее решение можно искать путём подбора <span class="math">$x_0;y_0$</span>» . Поэтому ясно, что простого способа нахождения решений как не было, так и нет.<br />В то же время, рассматривая равенство <span class="math">$Ax^2=y^2-1$</span> не трудно понять , что при любом <span class="math">$$y&gt;1$</span> справа мы всегда будем иметь не простое целое число, которое в своём разложении на множители может иметь или не иметь множители , являющиеся квадратом. Если квадрата в разложении этого числа нет, то мы получим решение для числа <span class="math">$A$</span> меньшего квадрата на <span class="math">$1$</span> при <span class="math">$$x=1$</span>. Если такой или такие множители есть, то, выделив произведение квадратов как <span class="math">$x^2$</span> а произведение остальных взяв как <span class="math">$A$</span> всегда получим решение вида <span class="math">$Ax^2=y^2-1$</span> для какого - то, заранее не известного числа <span class="math">$A$</span>. Но всё это, конечно, не то, что имел ввиду Ферма. Для нахождения решений в прямом соответствии с утверждением Ферма необходимо начинать поиск (вычисления) решения представления в требуемом виде заданного числа с анализа свойств конкретного <span class="math">$A$</span> и манипулируя его свойствами, и свойствами получаемых эквивалентных равенств найти решение.<br />Известны методы нахождения таких решений: индийский метод и метод Броункера – Валлиса. Но они весьма громоздки и не доказано, что они всегда приводят к желаемому результату. В связи с этим у меня сомнение – не напрасно ли я открыл тему. Прошу подсказать, известны ли и где описаны другие способы.<br />Любарцев В.В.]]></description>
<dc:creator>voldemar</dc:creator>
<category>Высшая математика</category><pubDate>Fri, 03 Feb 2012 21:17:22 +0400</pubDate></item>
<item>
<guid>http://www.mathforum.ru/forum/read/1/47599/47599/#47599</guid>
<title>Помогите найти производную! (1 reply)</title><link>http://www.mathforum.ru/forum/read/1/47599/47599/#47599</link><description><![CDATA[xy = tg(y)<br /><br />Найти первую производную]]></description>
<dc:creator>zm-podgon</dc:creator>
<category>Высшая математика</category><pubDate>Fri, 03 Feb 2012 19:48:57 +0400</pubDate></item>
<item>
<guid>http://www.mathforum.ru/forum/read/1/47596/47596/#47596</guid>
<title>Вектора (3 replies)</title><link>http://www.mathforum.ru/forum/read/1/47596/47596/#47596</link><description><![CDATA[Даны вектора: m, n, a, b.<br />IaI=2, IbI=2, угол между a и b равен 120 градусов<br /><br />m=2a-3b; n=a+4b.<br /><br />как найти длины векторов m и n, проекцию m на n, и угол между m и n?<br /><br />я понял только как находить произведение]]></description>
<dc:creator>vladislav1</dc:creator>
<category>Высшая математика</category><pubDate>Fri, 03 Feb 2012 20:29:09 +0400</pubDate></item>
<item>
<guid>http://www.mathforum.ru/forum/read/1/47591/47591/#47591</guid>
<title>Вычисление интеграла на конечном промежутке (1 reply)</title><link>http://www.mathforum.ru/forum/read/1/47591/47591/#47591</link><description><![CDATA[Подскажите, каким методом можно просто вычислить интеграл на конечном промежутке. Так, чтобы было проще всего запрограммировать.<br />Может вопрос и простой, но всё таки.]]></description>
<dc:creator>carlos0n</dc:creator>
<category>Высшая математика</category><pubDate>Thu, 02 Feb 2012 20:05:40 +0400</pubDate></item>
</channel>
</rss>
