Рассмотрите $x = 0$ и $x = \pm1$

Ответ: $c$ – целое; $a$ и $b$ либо оба целые, либо оба имеют вид: целое плюс $\frac{1}{2}$
Подставим в многочлен $x = 0$ и $x = \pm1$, получим, что $c$ и $a \pm b$ – целые числа.
Значит, целыми являются $c, 2a, 2b, a + b$, то есть $a$ и $b$ либо оба целые, либо оба имеют вид: целое плюс $\frac{1}{2}$
В обратную сторону, если $a, b, c$ – целые, то многочлен целое значение при целых $x$;
если $a = m + \frac{1}{2}, b = n + \frac{1}{2}$, где $m$ и $n$ – целые, то многочлен равен
$mx^2 + nx + c + \frac{x(x + 1)}{2}$ и имеет целое значение при целых $x$.