Рассмотрите остаток от деления $x, y, z$ на $2$ и на $3$

Ответ: Уравнение решений в простых числах не имеет
Хотя бы одно из чисел $x, y, z$ должно быть четным, то есть равняться $2$.
Равенство $(3a \pm 1)^2 + (3b \pm 1)^3 = (3c \pm 1)^4$ невозможно, поэтому хотя бы одно из чисел $x, y, z$ должно делиться на $3$, то есть равняться $3$.
Остается рассмотреть $6$ случаев и проверить, что третье число не может быть даже целым