Ясно, что последняя цифра числа $a$ не может принимать значения $0, 2, 4, 5, 6, 8$

Ответ: Последняя цифра числа $a$ может быть равна только $1$
Ясно, что последняя цифра числа $a$ не может принимать значения $0, 2, 4, 5, 6, 8$
Предположим, что последняя цифра $a$ равна $3, 7$, или $9$.
Тогда последняя цифра выражения $a + a^2 + a^3 + a^4$ равна нулю и, значит, последняя цифра выражения $a^{k+1} + a^{k+2} + a^{k+3} + a^{k+4} $ равна нулю (так как последняя цифра числа $a^4$ равна $1$ и последняя цифра числа $a^5$ равна последней цифре числа $a$).
Остается проверить, что числа $a + a^2$ и $a + a^2 + a^3$ не могут оканчиваться единицей.
$a + a^2$ – четно,
Последняя цифра числа $a + a^2 + a^3$ равна $9$.
Если последняя цифра числа $a$ равна $1$, то последняя цифра $S$ может быть сделана равной $1$ (когда последняя цифра числа $n$ равна $1$)