Целое число в виде x^2 + 2y^2

Целое число в виде x^2 + 2y^2 Условие Целое число $a$ обладает тем свойством, что число $3a$ представимо в виде $x^2 + 2y^2$, где $x$ и $y$ – целые числа. Верно ли, что и само число $a$ представимо в таком виде? Подсказка Если $x^2 + 2y^2$ делится на $3$, то $x^2 - y^2$ делится на $3$. Решение Ответ: Да, верно Если $x^2 + 2y^2$ делится на $3$, то и $x^2 - y^2$ делится на $3$, а значит, либо $x + y$ (а тогда и $x - 2y$), либо $x – y$ (а тогда и $x + 2y$) делится на $3$. Поэтому одно из двух равенств $\frac{x^2 +2y^2}{3} = {\left(\frac{x+2y}{3}\right)}^2 + 2{\left(\frac{x-y}{3}\right)}^2$ $\frac{x^2 +2y^2}{3} = {\left(\frac{x-2y}{3}\right)}^2 + 2{\left(\frac{x+y}{3}\right)}^2$ дает решение задачи http://www.mathforum.ru/forum/read/8/117247/117247/#117247Fri, 09 Oct 2026 13:46:04 +0300 Phorum 5.2.10 http://www.mathforum.ru/forum/read/8/117247/117247/#117247 Целое число в виде x^2 + 2y^2http://www.mathforum.ru/forum/read/8/117247/117247/#117247Условие

Целое число $a$ обладает тем свойством, что число $3a$ представимо в виде $x^2 + 2y^2$, где $x$ и $y$ – целые числа.
Верно ли, что и само число $a$ представимо в таком виде?

Подсказка

Если $x^2 + 2y^2$ делится на $3$, то $x^2 - y^2$ делится на $3$.

Решение

Ответ: Да, верно
Если $x^2 + 2y^2$ делится на $3$, то и $x^2 - y^2$ делится на $3$, а значит, либо $x + y$ (а тогда и $x - 2y$), либо $x – y$ (а тогда и $x + 2y$) делится на $3$.
Поэтому одно из двух равенств
$\frac{x^2 +2y^2}{3} = {\left(\frac{x+2y}{3}\right)}^2 + 2{\left(\frac{x-y}{3}\right)}^2$
$\frac{x^2 +2y^2}{3} = {\left(\frac{x-2y}{3}\right)}^2 + 2{\left(\frac{x+y}{3}\right)}^2$
дает решение задачи

]]> koh Задачки и головоломкиSat, 15 Nov 2025 21:35:43 +0300