Левая часть уравнения – строго возрастающая функция на множестве натуральных чисел.

Ответ: $x = 584$
Обозначим $ F(x) = [\frac{x}{1!}] + [\frac{x}{2!}] + \ldots+ [\frac{x}{10!}] = 1001$
Так как $583 < 584 < 585 < 6! = 720$, то
$F(583) = [\frac{583}{1}] + [\frac{583}{2}] + [\frac{583}{6}] + [\frac{583}{24}] + [\frac{583}{120}] = 583 + 291 + 97 + 24 + 4 = 999$
$F(584) = [\frac{584}{1}] + [\frac{584}{2}] + [\frac{584}{6}] + [\frac{584}{24}] + [\frac{584}{120}] = 584 + 292 + 97 + 24 + 4 = 1001$
$F(585) = [\frac{585}{1}] + [\frac{585}{2}] + [\frac{585}{6}] + [\frac{585}{24}] + [\frac{585}{120}] = 585 + 292 + 97 + 24 + 4 = 1002$
Левая часть уравнения – строго возрастающая функция на множестве натуральных чисел.
Поэтому решение единственно