Сумма кубов равна нулю

Сумма кубов равна нулю Условие Вещественные числа $x_1, x_2, \ldots, x_n$ принадлежат отрезку $ [-1; 1] $, причем сумма кубов этих чисел равна нулю. Верно ли, что сумма $x_1 + x_2 + \ldots + x_n$ не превосходит $\frac{n}{3}$? Подсказка Рассмотрите многочлен $ P \left( x \right) = 4 \cdot \left(x + 1 \right)\cdot \left(x – \frac{1}{2} \right)^2$ Решение Ответ: Да, верно Рассмотрим многочлен $P\left(x\right) = 4 \cdot\left(x + 1\right)\cdot\left(x – \frac{1}{2}\right)^2 = \left(x + 1\right)\left(4x^2 – 4x + 1\right) = 4x^3 – 3x + 1$ Сложив $n$ очевидных неравенств $P(x_i)\geq 0, i = 1, 2, \ldots, n$, получаем $-3\left(x_1 + x_2 + \ldots + x_n\right) + n \geq 0$. Откуда $x_1 + x_2 + \ldots + x_n \leq \frac{n}{3}$ http://www.mathforum.ru/forum/read/8/120807/120807/#120807Sun, 13 Sep 2026 07:36:03 +0300 Phorum 5.2.10 http://www.mathforum.ru/forum/read/8/120807/120807/#120807 Сумма кубов равна нулюhttp://www.mathforum.ru/forum/read/8/120807/120807/#120807Условие

Вещественные числа $x_1, x_2, \ldots, x_n$ принадлежат отрезку $ [-1; 1] $, причем сумма кубов этих чисел равна нулю.
Верно ли, что сумма $x_1 + x_2 + \ldots + x_n$ не превосходит $\frac{n}{3}$?

Подсказка

Рассмотрите многочлен $ P \left( x \right) = 4 \cdot \left(x + 1 \right)\cdot \left(x – \frac{1}{2} \right)^2$

Решение

Ответ: Да, верно
Рассмотрим многочлен $P\left(x\right) = 4 \cdot\left(x + 1\right)\cdot\left(x – \frac{1}{2}\right)^2 = \left(x + 1\right)\left(4x^2 – 4x + 1\right) = 4x^3 – 3x + 1$
Сложив $n$ очевидных неравенств $P(x_i)\geq 0, i = 1, 2, \ldots, n$, получаем
$-3\left(x_1 + x_2 + \ldots + x_n\right) + n \geq 0$.
Откуда
$x_1 + x_2 + \ldots + x_n \leq \frac{n}{3}$

]]> koh Задачки и головоломкиSun, 26 Apr 2026 20:49:42 +0300