Рассмотрите шестиугольник, построенный на основе правильного треугольника со стороной $2$

Ответ: Нет, не всегда
Возьмем правильный треугольник со стороной $2$ (на рисунке он показан синим цветом).

[attachment 257 Выпуклый шестиугольник]

Из середин его сторон восставим во внешнюю сторону перпендикуляры, отложим на них отрезки длины $0,1$ и соединим полученные точки с вершинами треугольника.
Покажем, что стороны полученного таким образом шестиугольника (на рисунке он показан красным цветом) больше единицы, но все его диагонали не больше двух.
Действительно, стороны такого шестиугольника равны $\sqrt{1^2 + 0,1^2} > 1$.
Синие диагонали равны двум, зеленые равны $\sqrt{3} + 0,1 < 2$, голубые меньше, чем $1 + 0,1 + 0,1 = 1,2 < 2$.