Похороны континуума

Автор темы Олав 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеПравила и принципы форума «Высшая математика»28.10.2009 15:17
ОбъявлениеРазделу «Задачки и головоломки» исполнилось два года21.08.2021 01:51
ОбъявлениеМГУ и Яндекс объявили об открытии на мехмате специализации по анализу данных и машинному обучению24.08.2021 00:17
15.05.2003 02:35
Олав
Похороны континуума
Я сформулирую апорию Зенона Дихотомия в несколько измененном виде, и задам совсем не тот вопрос, который задавал Зенон. Зенон задавал вопрос сможет ли точка пройти бесконеное счетное множество точек за конечное время. Здесь же будет совсем другой вопрос.

Рассмотрим движение геометрической точки М по оси ОХ. Точка стартует в 0 и финиширует в 2.

Предположим, что пространство континуально, т.е. не существует предела деления единицы.


Совершенно очевидно, что если точка, движение которой мы рассматриваем, еще не коснулась ни одной точки множества {..., 1/n, ..., 1/3, 1/2, 1}, то она еще не начала касаться точек этого множества. Когда точка находилась в точке 0, она еще не коснулась ни одной точки этого множества, а значит еще не начала касаться точек этого множества.

Каждой точке множества {1/n} соответствует момент касания ее движущейся точкой. Поскольку не существует последнего числа натурального ряда, то не существует и самого раннего момента касания движущейся точкой точек данного множества, другими словами не существует момента касания, раньше которого не лежали бы другие моменты касания. Поэтому какой бы момент касания мы не взяли, мы можем быть уверены, что в этот момент точка не начала, а продолжила касаться точек множества {1/n} ( ибо ранее этого момента касания лежат другие моменты касания).

Итак, на стреле времени мы имеем момент, в который точка еще не начала касаться точек множества {1/n}. Это момент, когда точка находилась в точке 0.
Мы имеем моменты, в которые точка продолжила касаться точек множества {1/n}. Это любой момент когда точка уже коснулась бесконечного подмножества множества {1/n}.
Мы имеем момент, в который точка закончила касаться точек множества {1/n} – это момент когда точка коснулась всего множества {1/n}, т.е. момент, когда точка коснулась точки 1.

На стреле времени отсутствует момент, когда точка начала касаться точек данного множества, иными словами отсутствует момент, когда точка коснулась всего одной точки данного множества.

Если мы имеем момент окончания, моменты продолжения и не имеем момента начала, то получается, что точка закончила касаться множества {1/n} так и не начав его касаться.

Но невозможно закончить что-либо, не начав. Не может быть такое, что на стреле времени справа от того момета, когда точка М коснулась 0 точек множества {1/n}, не лежит момент, когда точка М коснулась всего одной точки множества {1/n} , ибо движущаяся точка не может зайти в какое бы то ни было счетное множество точек иначе как коснувшись вначале всего одной точки этого множества, потом, коснувшись всего двух точек этого множества и т. д. до бесконечности.

Значит, наше предположение о том, что пространство, в котором происходит движение точки, континуально, было неверным, и предел деления единицы существует.

Те, кто не согласен, пусть ответят на вопрос: как точка М могла начать касаться бесконечного счетного множества точек {1/n}, если не существует момента начала касания точкой М данного множества, иными словами не существует момента, в который точка М коснулась всего лишь одной точки данного множества?
15.05.2003 10:56
пианист
слухи о смерти континуума несколько преувеличены
Все "противоречие" основано на том, что "касание" бесконечного множества должно происходить также, как "касание" конечного, а это неверно. Простой пример: множество чисел, противоположных натуральным, нигде не начинается в смысле рассуждения Олава, а заканчивается в точке -1, что не мешает этому множеству спокойно существовать.
15.05.2003 13:36
Игорь Абрамов
два замечания о смертности средии континнуумов
1) Если в физических терминах рассуждать о понятиях математической
модели, то нельзя доказать противоречивости математического понятия.
Можно только доказать неприменимость математической модели к
данной физической теории (которая, в свою очередь, отражает
реальную ситуацию, в лучшем случае, частично).

Поэтому делаемая Вами попытка побороться к континуумом может
пытаться похоронить только физические теории основывающиеся на
континуальности пространства (и времени тоже).

Это вряд-ли будет иметь большой успех, так как Ньютонова механика
замечательно моделирует явления на уровне непосредственно нами наблюдаемых, а многие более тонкие случаи моделируются на
уровне ОТО/СТО.

2) Логическая ошибка в Вашем пассуждении в том, что вы неявно предполагаете, что у процесса обязательно должен быть
"первый момент времени". Это не так если время тоже континуально.

PS: Под континнумом здесь понимается множество топологически и алгебраически эквивалентное R^n.
15.05.2003 14:58
Олав
По-моему он все- таки скончался
Конец множества отрицательных чисел называется концом чисто условно. Если бы это было не условностью, то наверное, тогда это множество называли бы безначальным, а не бесконечным. Разве точка -1 является концом луча (-бесконечность, -1], по-моему она является началом этого луча. Никаких парадоксов с множеством отрицательных чисел придумать невозможно, если точка движется из точки 0 к минус бесконечности, то она начнет касаться множества {-n} в тот момент, когда коснется точки -1, потом продолжит его касться и никогда не закончит. Не закончить, начав можно. Но вот закончить не начав никак нельзя.
15.05.2003 15:11
Олав
Не знаю, не знаю...
***Поэтому делаемая Вами попытка побороться к континуумом может
пытаться похоронить только физические теории основывающиеся на
континуальности пространства (и времени тоже).***

Я попытался показать, что в континуальном пространстве движение немыслимо, в нем мыслим только вечный покой. Задача была чисто геометрическая, а не физическая. Двигалась геометрическая точка, не имеющая массы.

***Логическая ошибка в Вашем пассуждении в том, что вы неявно предполагаете, что у процесса обязательно должен быть
"первый момент времени". Это не так если время тоже континуально.***

Если мы рассматриваем процесс, который на наших глазах еще не начался, потом продолжился и закончился, то разумеется, на мой взгляд, между моментом, когда он еще не начался и моментами, когда он продолжался должен находиться момент, в который процесс начался.

Если же мы рассматриваем процесс, который уже начался до того как мы появились на свет, то такой процесс вполне мог продолжиться и закончиться, не начавшись на наших глазах.

По-вашему моя ошибка состоит в том, что я считаю, что не бывает конечных явлений, которые заканчивались бы, не начавшись?

Привидите мне пример хоть одного не вечного явления, которое закончилось бы не начавшись?
15.05.2003 15:50
пианист
исчо раз
1) На каком основании Вы автоматически (т.е. без доказательства) переносите свойства конечных множеств на бесконечные?

"Не может быть такое, что на стреле времени справа от того момета, когда точка М коснулась 0 точек множества {1/n}, не лежит момент, когда точка М коснулась всего одной точки множества {1/n} , ибо движущаяся точка не может зайти в какое бы то ни было счетное множество точек иначе как коснувшись вначале всего одной точки этого множества, потом, коснувшись всего двух точек этого множества и т. д. до бесконечности"

2) Как вы сами заметили, "начало" и "конец" множества выбираются чисто условно. Поменяйте местами в Вашем "доказательстве" слова "начало" и "конец", "начать" и "закончить" и т.п., и Вы увидите, что никакого противоречия не получится.
15.05.2003 16:00
Игорь Абрамов
Точно. Не знаете.
Олав сказал(а) :
>
> Я попытался показать, что в континуальном пространстве
> движение немыслимо, в нем мыслим только вечный покой. Задача
> была чисто геометрическая, а не физическая. Двигалась
> геометрическая точка, не имеющая массы.
>
Понятие времени относится к физике, а не к геометрии.

> ***Логическая ошибка в Вашем пассуждении в том, что вы неявно
> предполагаете, что у процесса обязательно должен быть
> "первый момент времени". Это не так если время тоже
> континуально.***
>
> Если мы рассматриваем процесс, который на наших глазах еще не
> начался, потом продолжился и закончился, то разумеется, на
> мой взгляд, между моментом, когда он еще не начался и
> моментами, когда он продолжался должен находиться момент, в
> который процесс начался.
> Если же мы рассматриваем процесс, который уже начался до того
> как мы появились на свет, то такой процесс вполне мог
> продолжиться и закончиться, не начавшись на наших глазах.
>
> По-вашему моя ошибка состоит в том, что я считаю, что не
> бывает конечных явлений, которые заканчивались бы, не
> начавшись?

Гм. Я такого не писал.

> Привидите мне пример хоть одного не вечного явления, которое
> закончилось бы не начавшись?

Повторяю. Есть реальный мир. Есть (их много) его физические теории.
Эти теории обычно включают математические модели.
Это все (реальный мир, физическая теория, математическая модель)
--- разные понятия.

Понятия времени и процесса/явления относятся к физическим теориям.

Понятие континуума к математическим моделям.

====================================
В рамках математической модели обычно принимают, что
явление занимает связный непрерывный интервал времени.
Чисто формально этот интервал может содержать, а может и
не содержать своих граничных точек. Этот выбор обычно
произволен и делается из соображений удобства собственно
вычислений в рамках принятой математической модели.

Если интервал открыт, то процесс ограничен во времени,
но не имеет самого раннего момента времени когда он
выполняется. В этом нет ничего странного.
(По сравнению с понятиями квантовой механики, это
просто цветочки. Вот там побольше поводов для
сомнений).
15.05.2003 17:18
Олав
Я сам хочу спасти континуум...
Но, упираюсь в такую нестыковку:
Вы, наверое, согласитесь, что в те моменты времени, когда точка М находилась в точке 0, она еще не начала касаться точек множества {1/n}. В те моменты времени, когда точка М находилась в любой точке 1/n, она уже начала касаться точек множества {1/n}.

В итоге мы имеем:
- моменты, когда точка М "еще не начала" касаться точек множества {1/n}
- моменты, когда точка М "уже начала касаться" точек множества {1/n}

И между этими моментами мы не имеем момента когда точка "начала касаться" точек множества {1/n}.

Чтобы при таких обстоятельствах остаться верным идее континуума приходится идти на компромисы со здравым смыслом.
15.05.2003 17:31
Олав
Со многим согласен
Игорь Абрамов сказал(а) :
>
> Олав сказал(а) :
> >
> > Я попытался показать, что в континуальном пространстве
> > движение немыслимо, в нем мыслим только вечный покой. Задача
> > была чисто геометрическая, а не физическая. Двигалась
> > геометрическая точка, не имеющая массы.
> >
> Понятие времени относится к физике, а не к геометрии.
>
> > ***Логическая ошибка в Вашем пассуждении в том, что вы неявно
> > предполагаете, что у процесса обязательно должен быть
> > "первый момент времени". Это не так если время тоже
> > континуально.***
> >
> > Если мы рассматриваем процесс, который на наших глазах еще не
> > начался, потом продолжился и закончился, то разумеется, на
> > мой взгляд, между моментом, когда он еще не начался и
> > моментами, когда он продолжался должен находиться момент, в
> > который процесс начался.
> > Если же мы рассматриваем процесс, который уже начался до того
> > как мы появились на свет, то такой процесс вполне мог
> > продолжиться и закончиться, не начавшись на наших глазах.
> >
> > По-вашему моя ошибка состоит в том, что я считаю, что не
> > бывает конечных явлений, которые заканчивались бы, не
> > начавшись?
>
> Гм. Я такого не писал.
>
> > Привидите мне пример хоть одного не вечного явления, которое
> > закончилось бы не начавшись?
>
> Повторяю. Есть реальный мир. Есть (их много) его физические
> теории.
> Эти теории обычно включают математические модели.
> Это все (реальный мир, физическая теория, математическая
> модель)
> --- разные понятия.
Совершенно с вами согласен.
Ну, наверное, тогда в физике надо применять такие модели пространства, в которых явление не может закончиться не начавшись. Мы ведь видим, что в реальном мире ничто не заканчивается, не начавшись. Почему же тогда для описания этого реального мира мы применяем континуальную модель пространства, в которой касание движущейся точкой бесконечного счетного множества неподвижных точек заканчивается, не начавшись?
>
> Понятия времени и процесса/явления относятся к физическим
> теориям.
>
> Понятие континуума к математическим моделям.
>
> ====================================
> В рамках математической модели обычно принимают, что
> явление занимает связный непрерывный интервал времени.
> Чисто формально этот интервал может содержать, а может и
> не содержать своих граничных точек. Этот выбор обычно
> произволен и делается из соображений удобства собственно
> вычислений в рамках принятой математической модели.
>
> Если интервал открыт, то процесс ограничен во времени,
> но не имеет самого раннего момента времени когда он
> выполняется. В этом нет ничего странного.
> (По сравнению с понятиями квантовой механики, это
> просто цветочки. Вот там побольше поводов для
> сомнений).
15.05.2003 18:01
пианист
континуум переживет всех нас
Повторю в третий (и последний, больше не буду) раз.
Все Ваши нестыковки произрастают из-за того, что Вы переносите свойства конечных множеств на бесконечные без доказательства корректности такого переноса.
Как мне кажется, наличие

>момента когда точка "начала касаться" точек множества {1/n}

эквивалентно наличию самого большого натурального числа. А так как такого числа нет, то нет и искомого момента.
15.05.2003 18:34
Игорь Абрамов
Угу
> Совершенно с вами согласен.
> Ну, наверное, тогда в физике надо применять такие модели
> пространства, в которых явление не может закончиться не
> начавшись. Мы ведь видим, что в реальном мире ничто не
> заканчивается, не начавшись. Почему же тогда для описания
> этого реального мира мы применяем континуальную модель
> пространства, в которой касание движущейся точкой
> бесконечного счетного множества неподвижных точек
> заканчивается, не начавшись?

Посмотрите еще раз. Классическая модель именно такая.
Нечто начинается. И мы можем точно сказать когда.
Другое дело, что в самый момент времени начала,
процесс еще не пошел. Но в любой момент времени после, он уже
идет некоторое время. Значит, то что мы указываем как время старта
и есть время начала процесса.
Просто надо правильно определить понятие начала процесса
В НАШЕЙ МОДЕЛИ.

Началом процесса называется такой
момент времени, что в любой, достаточно близко от него отстоящий,
будущий момент времени он идет, а в любой предыдыдущий он не
идет.

А в сам такой момент он может как идти так и не идти,
в зависимости от наших договоренностей.

Почитайте лучше какую-нибудь умную книжку по физике.
Вот, Фейнмановские лекции, например, очень развивает.
16.05.2003 17:56
Олав
Что же имеет место на самом деле?
пианист сказал(а) :
>
> Повторю в третий (и последний, больше не буду) раз.
> Все Ваши нестыковки произрастают из-за того, что Вы
> переносите свойства конечных множеств на бесконечные без
> доказательства корректности такого переноса.
> Как мне кажется, наличие
>
> >момента когда точка "начала касаться" точек множества {1/n}
>
> эквивалентно наличию самого большого натурального числа. А
> так как такого числа нет, то нет и искомого момента.
(Я с вашего позволения продолжу вашу мысль). А раз искомого момента нет, бесконечное счетное множества точек обладают таким удивительным свойством, что движущаяся точка продолжает и заканчивает его проходить, даже не начав.
Хотя может быть и другое объяснение. Если мы предположим, что предел деления единицы существует, то движущаяся точка продолжает и заканчивает проходить конечное множество точек, начав его проходить с начальной точки.
16.05.2003 18:05
Олав
Угу

> Посмотрите еще раз. Классическая модель именно такая.
> Нечто начинается. И мы можем точно сказать когда.
> Другое дело, что в самый момент времени начала,
> процесс еще не пошел. Но в любой момент времени после, он уже
> идет некоторое время. Значит, то что мы указываем как время
> старта
> и есть время начала процесса.
> Просто надо правильно определить понятие начала процесса
> В НАШЕЙ МОДЕЛИ.
>
> Началом процесса называется такой
> момент времени, что в любой, достаточно близко от него
> отстоящий,
> будущий момент времени он идет, а в любой предыдыдущий он не
> идет.
>
> А в сам такой момент он может как идти так и не идти,
> в зависимости от наших договоренностей.
То есть мы договариваемся, что точка, находящаяся на старте уже начала касаться точек {1/n}, несмотря на то, что она еще их не начинала касасться, иными словами договариваемся, что процесс касания точек уже пошел, несмотря на то, что на самом деле он еще не пошел, чисто для того чтобы устранить логические противоречия.
>
> Почитайте лучше какую-нибудь умную книжку по физике.
> Вот, Фейнмановские лекции, например, очень развивает.
17.05.2003 00:43
IP
Полный бред
Ну и при чем здесь континуум ?
Все "рассуждения" верны и для рациональных чмсел

Вы слышали о понятии предела ? О том, что верхняя(нижняя)
грань множества может ему не принадлежать ?
Если да, то определите строго, что такое "момент начала
касания".

>Но невозможно закончить что-либо, не начав.
- чего стоит одна эта "аксиома". Да вы, похоже, философ :))
17.05.2003 13:26
Олав
Определения
IP сказал(а) :
>
> Ну и при чем здесь континуум ?
> Все "рассуждения" верны и для рациональных чмсел
>
> Вы слышали о понятии предела ? О том, что верхняя(нижняя)
> грань множества может ему не принадлежать ?
> Если да, то определите строго, что такое "момент начала
> касания".
>
> >Но невозможно закончить что-либо, не начав.
> - чего стоит одна эта "аксиома". Да вы, похоже, философ :))

Ну, что значит "не начать касться множества точек", вы и сами можете легко определить. Это значит не коснуться ни одной точки множества. Соотвтетственно, применяя логику можно дать определния и всем остальным терминам. Начать касаться множества значит коснуться всего одной точки этого множества, продолжить касаться множества значит коснуться более одной точки данного множества, закончить касаться множества значит коснуться всех точек данного множества.

Рассуждения не верны для рациональных чисел. Вопрос ставится так можно ли установить взаимнооднозначное соответствие между подмножеством рациональных чисел {1/n} и точками прямой (по которой движется точка), полученными путем последовательного деления единичного отрезка?
17.05.2003 22:26
Basilisk
Здесь надо быть аккуратным
Здесь надо быть аккуратным в определениях, в качестве иллюстрации можно привести такой пример (парадокс маляра):
Составим фигуру из прямоугольников со сторонами n и 1/n^2 (бесконечную). Сумма их площадей составляет гармонический ряд (который расходится), значит для того, чтобы Эту фигуру покрасить краски не хватит (очень много понадобится :). Но составим "ведро" из цилиндров с высотой n и радиусом основания 1/n^2 сумма их объемов сотавляет ряд из обратных кубов (n*(1/n^2)^2*pi=pi/n^3 ), который сходится, значит нальем туда краски (ее хватит), а потом опустим туда нашу фигуру и она, о чудо, окрасится!
Вопрос состоит в том: а что значит покрасить фигуру с бесконечной площадью?
В зависимости от этого ответ может быть разным.

>"не начать касться множества точек", вы и сами можете легко >определить.

А как Вы можете определить, что значит покрасить фигуру, с бесконечной полщадью (таких фигур, как и бесконечных множеств в природе нет)?
18.05.2003 01:55
IVS
Простите, но откуда Вы взяли ТАКОЙ подход к теории множеств?
> Это значит не коснуться ни одной точки множества.
Что значит "коснуться"? Каково определение того, что точка касается множества (на прямой R^n)???
18.05.2003 18:07
Олав
Определения
IVS сказал(а) :
>
> > Это значит не коснуться ни одной точки множества.
> Что значит "коснуться"? Каково определение того, что точка
> касается множества (на прямой R^n)???
Движущаяся точка касается множества в момент t, если в момент t она находится в точке, принадлежащей данному множеству.
19.05.2003 12:52
пианист
именно это и имеет место
Олав сказал(а) :
> (Я с вашего позволения продолжу вашу мысль). А раз искомого
> момента нет, бесконечное счетное множества точек обладают
> таким удивительным свойством, что движущаяся точка продолжает
> и заканчивает его проходить, даже не начав.

В принципе, мысль вы продолжили верно. Насколько это удивительно, каждый решает сам. Кому-то может показаться удивительным, что для условно сходящихся рядов не выполняется известное с первого класса "От перемены мест слагаемых сумма не изменяется".
Возвращаясь к вашим рассуждения, хочу посоветовать вам быть более аккуратным к определениям понятий (постарайтесь формально определить понятие движения точки, начала касания точки множеством и т.п., используя известные математические понятия) и меньше апеллировать к "очевидному", посколько бесконечность сама по себе далеко неочевидное понятие :))
21.05.2003 13:46
Кранов
касаться или начать касание?
что такое "касаться", понятно. Но что значит "начать касаться"?
когда точка в покое, она не касается мн-ва 1/n. когда она _начинает движение_, в этот момент она начинает касаться это множество, да? но все же еще не касается, а в любой последующий момент --либо касается, либо начинает касаться!

Это -- если вы считаете время непрерывным. а если оно дискретно, то и непрерывного движния нет, и Ваша точка пройдет лишь несколько конкретных точек...
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти