Похороны континуума

Автор темы Олав 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеHuawei - Research scientist (math)22.06.2021 11:25
ОбъявлениеЧисло «Пи» рассчитано с рекордной точностью на «бюджетном» компьютере27.08.2021 22:26
ОбъявлениеРабота автором топиков и проектов на математическом треке Hyperskill24.09.2021 21:18
21.05.2003 16:37
Leigh
Заодно похороним весь матанализ? :)
А те четыре пары в неделю, что отведены на этот предмет на мехмате, отведем на историю развития лжеучений 16 - 20 в.в. и философию? :))

Аксиома выбора утверждает, что если у нас есть некоторый набор множеств, то из каждого множества можно выделить по одному элементу и составить из них новое множество.
Если эту аксиому принять, то можно получить следующее ("парадокс" Банаха-Тарского): можно разбить трехмерный шар на конечное число частей, которые можно переставить (переносами, поворотами и отражениями) так, что получатся два шара такого же размера, как и исходный шар.
Но из того факта, что, например, центральные банки не смогут, на основании математических моделей, опирающихся на аксиому выбора, удваивать свои золотовалютные запасы, не следует, что нам надо "похоронить" эту аксиому. Ведь если ее не принимать в математике, то нельзя будет доказать, например, следующие фундаментальные теоремы:

- теорему о непрерывной функции, принимающей значения разных знаков на концах промежутка;
— лемму Больцано — Вейерштрасса о сходящейся подпоследовательности у ограниченной последовательности;
- теорему Коши о конечных приращениях;
— теорему Лопиталя о раскрытии неопределенностей
ну и еще много чего.

Таким образом, нам удобна аксиома выбора. И удобны математические модели, опирающиеся на нее. Несмотря на то, что что-то там может "расходиться со здравым смыслом" или даже, якобы, "противоречить" чему-либо.

Конечно, нельзя о противоречивости одних моделей говорить на языке моделей совершенно другого уровня. А если мы утверждаем что-то математическое о математических моделях, то желательно оперировать математическими терминами и понятиями.
26.05.2003 19:40
Олав
Начать касание
Если вам не нравится термин начать, то я хочу просто обратить ваше внимание на тот вопиющий факт, что после ноля пройденных точек, не следует всего одной пройденной точки. Поскольку движущаяся точка не может находиться в двух точках множества 1/n одновременно, то такая ситуация абсолютно невозможна. Точка либо останется на старте в точке 0, либо существует момент, когда на ее счету имеется всего одна пройденная точка 1/n. Она даже не сможет пройти бесконечно малого расстояния если нет всего одной пройденной точки, ибо в этом расстоянии уже содержится бесконеное подмножество множества 1/n, которое нужно начать проходить.
Начать проходить {1/n} означает пройти всего одну точку этого множества.
27.05.2003 09:36
Игорь Абрамов
ну и что ?
Цитата

Олав писал(а) :
Если вам не нравится термин начать, то я хочу просто обратить ваше внимание на тот вопиющий факт, что после ноля пройденных точек, не следует всего одной пройденной точки. Поскольку движущаяся точка не может находиться в двух точках множества 1/n одновременно, то такая ситуация абсолютно невозможна. Точка либо останется на старте в точке 0, либо существует момент, когда на ее счету имеется всего одна пройденная точка 1/n.

Совершенно ни откуда не следует, что после момента времени, когда
"не пройдено" ни одной точки, должен следовать момент времени,
когда "пройдена" ровно одна точка.
Строго говоря, Вы привели классическое доказательство от противного.
Предположили, что должна быть первая точка, в результате получили
противоречие. Теперь самое время сделать вывод :
СЛЕДОВАТЕЛЬНО, ПЕРВОЙ ТОЧКИ НЕ МОЖЕТ БЫТЬ.

И ничему это не противоречит. Людям ведь было страшно представить,
что Земля круглая. Ужасно неинтуитивно, согласитесь.
27.05.2003 21:43
IVS
Движение в математике...
Вообще-то говоря, никаких движущихся точек в математике нет и быть не может. Если мы говорим о движущейся точке, то, скорее всего, подразумеваем просто отображение r: t |-> r(t), которое на самом деле является всего-навсего особым образом сформированным подмножеством декартова произведения двух множеств (области определения и области значений). Почитайте учебник матанализа для первого курса. Там много интересного написано :)
Олав, А Вам не кажется странным, что существуют функции, которые "почти во всех точках" (то есть во всех, за исключением некоторого множества Лебеговой меры нуль) имеют производную, равную нулю (то есть точка "не движется" почти всегда), но при этом функция монотонно возрастает? (Такой пример можно построить - см. книжки по теории меры и интеграла)...
В математике много всяких весьма неочевидных и даже противоречащих здравому смыслу вещей встречается...
28.05.2003 15:27
Игорь Абрамов
Движение вещь относительная :)
Увы, боюсь, тут куча удивления на уровне аксиомы непрерывности.
До меры далековато будет.
А уж до клиники д-ра Банаха сколько пилить ... :)))
04.06.2003 12:51
Кранов
Парадокс можно сформулировать проще!
Получается, что Ваш парадокс можно сформулировать проще:
* * *
когда точка начинает движение, она никогда не "начинает касаться"
множество {x>0}. Потому что либо она еще в нуле, либо уже прошла бесконечно много точек этого множества!
* * *
А можно -- еще проще:
-- как может быть на конечном отрезке бесконечное число точек? Это немыслимо!
-- как можно пройти за конечное время бесконечное число точек? Противоречие!
==
Или так:
-- Мы можем помыслить (= представить себе ясно и отчетливо) только конечное количество точек. Причем не N точек, а конкретное количество -- 5 или 7. Следовательно,
БЕСКОНЕЧНЫЕ МНОЖЕСТВА НЕВОЗМОЖНЫ,
а также
АБСТРАКТНЫЕ РАССУЖДЕНИЯ И ФОРМУЛЫ БЕССМЫСЛЕННЫ.
Правильно ли я понял Ваш философию?

04.06.2003 22:11
Олав
Парадокс можно сформулировать проще!
Цитата

Кранов писал(а) :
Получается, что Ваш парадокс можно сформулировать проще:
* * *
когда точка начинает движение, она никогда не "начинает касаться"
множество {x>0}. Потому что либо она еще в нуле, либо уже прошла бесконечно много точек этого множества!
* * *
А можно -- еще проще:
-- как может быть на конечном отрезке бесконечное число точек? Это немыслимо!
-- как можно пройти за конечное время бесконечное число точек? Противоречие!
==
Или так:
-- Мы можем помыслить (= представить себе ясно и отчетливо) только конечное количество точек. Причем не N точек, а конкретное количество -- 5 или 7. Следовательно,
БЕСКОНЕЧНЫЕ МНОЖЕСТВА НЕВОЗМОЖНЫ,
а также
АБСТРАКТНЫЕ РАССУЖДЕНИЯ И ФОРМУЛЫ БЕССМЫСЛЕННЫ.
Правильно ли я понял Ваш философию?


Нет, вы неправильно поняли мою философию.
Я просто удивляюсь, что в свое время Аристотелем было уделено столько сил на формулировку ответа на вопрос, поставленный Зеноном: как может движущаяся точка пройти бесконечное счетное множество "середин" за конечное время.
Согласно же бытующей ныне и продемонстрированной здесь уже не один раз точке зрения, ответ на вопрос, заданный Зеноном в апории Дихотомия должны был бы звучать примерно так:
Само понятие бесконечности далеко не очевидно, поэтому не нужно удивляться парадоксам, с ней связанным: мы не можем себе представить как точка может пройти бесконечное множество точек за конечное время по той же причине, по которой мы не можем себе представить бесконечность. Просто не нужно подходить к бесконечности и ее свойствам с бытовыми представлениями.

Если уж философы все-таки искали и нашли ответ на вопрос Зенона, то пусть теперь не поленятся что-нибудь ответить и на ваш вопрос:
когда точка начинает движение, она никогда не "начинает касаться"
множества {x>0}. Потому что либо она еще в нуле, либо уже прошла бесконечно много точек этого множества!" Может ли точка закончить, что либо, даже не начав?

На мой взгляд все гораздо проще: в силу сложившейся традиции научное сообщество начинает закрывать глаза на отсутствие здравого смысла уже в самом начале, в азах математики. И когда ему указывают на отсутствие логики, оно высокомерно отвечает, что математика это наука, превосходящая разум.
05.06.2003 09:52
Игорь Абрамов
Тем хуже для здравого смысла.
Олав !

Здравый смысл есть результат размышлений и практики.
У разных людей он разный. Так что если некоторая
теория объясняет и предсказывает результаты, но противоречит
"здравому смыслу", то тем хуже для этого здравого смысла.

Я уже писал, что шарообразность Земли тоже противоречит здравому
смыслу. Вы ее тоже отрицаете ?
А "парадоксы" непрерывности и бесконечности, это еще
цветочки по сравнению с парадоксами таких физических
теорий как квантовая механика и теория относительности.
Впрочем, ими Вы тоже похоже не занимались.
06.06.2003 13:34
Кранов
Чего же в этом высокомерного?!
Вы пишете:
----
На мой взгляд все гораздо проще: в силу сложившейся традиции научное сообщество начинает закрывать глаза на отсутствие здравого смысла уже в самом начале, в азах математики. И когда ему указывают на отсутствие логики, оно высокомерно отвечает, что математика это наука, превосходящая разум.
----

В этом выводе, получается, вы ставите знак равенства между понятиями "здравый смысл" и "разум". Но ведь люди для того и изобрели науку, чтобы узнать то, чего не может постичь их обычный здравый смысл! Чего же в этом высокомерного?!

В частности, здравый смысл отвергает все абстракции и, конечно, одну из главных абстракций --- бесконечность.

К тому же, на отсутствие логики научному сообществу попенять некому -- строгое изложение логики, даже аристотелевой, уже подразумевает некий уровень доверия к абстракциям...
07.06.2003 03:42
name
аксиома выбора и её следствия
Позволю себе маленький офтопик

Цитата

Leigh писал(a) :
если ее [аксиому выбора] не принимать в математике, то нельзя будет доказать, например, следующие фундаментальные теоремы: - теорему о непрерывной функции, принимающей значения разных знаков на концах промежутка;...

Последняя теорема сразу следует из порядковой полноты
множества действительных чисел
(для каждого ограниченного сверху множества
существует верхняя грань)
Разве здесь используется аксиома выбора?
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти