Сходимость по вероятности

Автор темы pipetz 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеРаботодателям и кадровым агентствам: Размещение вакансий и рекламы в форуме26.03.2008 03:07
ОбъявлениеЗапущен новый раздел «Задачки и головоломки»29.08.2019 00:42
ОбъявлениеАмерикансий Математик Даниэль Вайс стал лауреатом премии имени Лобачевского04.09.2019 10:53
02.08.2019 15:51
Сходимость по вероятности
Как известно последовательность случайных величин $\{\xi_n\}$ сходится по вероятности к случайной величине $\xi$ если
$ \forall\epsilon>0\left(\lim_{n\to\infty}P(\{\omega\in\Omega:|\xi_n(\omega)-\xi(\omega)|\geq\epsilon\})=0\right).\,(1) $
Честно говоря, глядя на это определение так и подмывает заменить его на более простое и кажущиеся эквивалентным
$ \lim_{n\to\infty}P(\{\omega\in\Omega:|\xi_n(\omega)-\xi(\omega)|>0\})=0.\,\,\,(2) $
Интересно какие ограничения надо наложить на случайные величины $\{\xi_n\}$, чтобы (1) и (2) были эквивалентны?

$ \forall\epsilon>0(\lim_{n\to\infty}P(|\xi_n-\xi|\geq\epsilon)=0)\Leftrightarrow\forall{k}\in\mathbb{N}\left(\lim_{n\to\infty}P\left(|\xi_n-\xi|\geq\frac1{k}\right)=0\right)\Leftrightarrow\sup_{k\in\mathbb{N}}\lim_{n\to\infty}P\left(|\xi_n-\xi|\geq\frac1{k}\right)=(?) $
$ =\lim_{n\to\infty}\sup_{k\in\mathbb{N}}P\left(|\xi_n-\xi|\geq\frac1{k}\right)=\lim_{n\to\infty}P\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}\left\{|\xi_n-\xi|\geq\frac1{k}\right\}\right)=\lim_{n\to\infty}P(|\xi_n-\xi|>0)=0 $
Ограничения должны быть такие, чтобы выполнялось равенство отмеченное знаком вопроса. Все остальные переходы, кажется, выполняются для любых $\xi_n$. А вот $\sup_{k\in\mathbb{N}}\lim_{n\to\infty}x_n^{(k)}$ не всегда равен $\lim_{n\to\infty}\sup_{k\in\mathbb{N}}x_n^{(k)}$, но мне пока не удалось построить контрпример.



Редактировалось 3 раз(а). Последний 07.08.2019 12:51.
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти