Задача по геометрии

Автор темы himmel2017 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеРаботодателям и кадровым агентствам: Размещение вакансий и рекламы в форуме26.03.2008 03:07
ОбъявлениеРекомендации по использованию теха в нашем форуме15.04.2017 21:40
ОбъявлениеПравила и принципы форума «Высшая математика»28.10.2009 15:17
12.09.2019 18:15
Задача по геометрии
Есть интересная задача по геометрии. Хотел бы обсудить способы решения. Точку К, расположенную внутри правильного 12-угольника отразили относительно прямых, содержащих его стороны. Найти минимально возможный периметр 12-угольника, с вершинами в полученных точках, если сторона исходного 12-угольника равна 1.

Пробовал записывать длины сторон явно, но не получилось хорошего ничего. Может, есть у кого идеи? Буду благодарен.



Редактировалось 1 раз(а). Последний 12.09.2019 21:03.
12.09.2019 19:35
хм
ничего интересного. и судя по явно заданному числу сторон, вам ее задали. находите координаты точек проекций через координаты исходной точки, строите целевую функцию периметра на основе этих координат и минимизируете. ограничения - нахождение точки внутри многоугольника. обычная задача оптимизации, хотя и с нелинейной целевой функцией. и наверняка эта точка - центр исходного многоугольника. можно попробовать и не решая доказать.
12.09.2019 21:01
Задача по геометрии
Да, я тоже подозревал центр многоугольника и думал о минимизации. Хотел найти решение покрасивее.
18.09.2019 14:43
Подсказка 1.
Красивая задача.
Даю подсказку, нужно рисовать.

Пусть точка $O$ - заданная точка, а $O_i$ ее $12$ проекций относительно сторон многоугольника.
Поверните каждый луч $OO_i$ вокруг точки $O$ так, чтобы все лучи с четным $i$ перешли в один луч $OA$, а все остальные - в другой луч $OB$, при этом угол между лучами равен $\frac{2 \pi}{12}$.
При данном преобразовании длина каждого из отрезков $O_iO_{i+1}$ не изменилась.
То есть периметр искомого многоугольника перешел в некую "гармошку" на нарисованном угле.
Теперь посмотрите, какая фигура получилась бы, если бы точка $O$ была центром исходного многоугольника (это один и тот же отрезок, взятый $12$ раз).

Количество вершин $12$ дано не зря. Для четного числа вершин доказать, что получившаяся "гармошка" длиннее взятого $12$ раз "эталонного" отрезка проще (также имеет значение делимость количества вершин на $4$, так что, например, для $6$ решение немного другое, но не принципиально).



Редактировалось 1 раз(а). Последний 18.09.2019 14:46.
18.09.2019 17:04
Спасибо
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти