Задача по аналитической геометрии

Здравствуйте, форумчане!
Есть одна задача с ангема, которую я не могу решить:

Даны две точки A(3,3), B(0,2). На прямой x+y-4=0 найти точку, из которой отрезок АВ виден по углом π/4.

P.S. И вообще, не знаете ли какое-нибудь пособие с решением задач по ангему?



Редактировалось 1 раз(а). Последний 17.09.2019 10:33.

На заданной прямой имеются две точки, удовлетворяющих условию задачи - это (-1;5) и (0;4)

Обозначив (х,у) координаты искомой точки легко сведем задачу к уравнению четвертой степени, имеющему два целочисленных решения.
Найти целочисленные решения легко геометрически: Восстановим перпендикуляр АС к прямой АВ, обозначим С точку пересечение перпендикуляра с осью абсцисс. Получаем координаты С(4,0) из равенства треугольников АСЕ, где Е(3,0), и АВD, где D(0,3). Треугольник АВС прямоугольный равнобедренный, следовательно С(4,0) - искомая точка.
Симметричная ей относительно прямой АВ точка С' (2,6) - вторая точка.
Восстанавливая перпендикуляр к ВА в точке В находим еще две точки: (1,-1) и (-1,5). Но эти точки можно найти решая квадратное уравнение, получаемое из ур-я четвертой степени разложением на множители.
Конечно, можно изначально разложить на множители многочлен 4-й степени из полученного уравнения, если верить, что он хорошо разлагается
Теперь посмотрим, какие точки лежат на нужной прямой..

Цитата
wwww
Зачем так сложно?. Задача сводится к решению уравнения с одним неизвестным, конкретней с применением формулы косинуса угла между двумя векторами.
В результате получаем однозначно две точки (-1;5) и (4;0).

Хотелось бы взглянуть на эту изумрудную формулу косинуса угла между векторами, которая не приводит к уравнению четвертой степени.
И точек-то , удовлетворяющих условию на угол, 4 штуки. Думаю, что уравнения у нас - одинаковые. Только мне хотелось обойтись элементарной геометрией.

Цитата
wwww
https://pixs.ru/image/4f2kw Вот решение через одно уравнение. представляющее собой косинус угла между двумя векторами. по условию задачи этот косинус равен корень квадратный из двух деленный нв два.

Как видим, у Вас использовано именно 2 уравнения, первое: х+у-4=0.
Второе уравнение - это условие на угол. Тот факт, что из первого уравнения был выражен у через х, не уменьшает число использованных уравнений. Второе уравнение, выражающее условие на угол (скалярное произведение искомых векторов равно произведению их модулей на косинус данного угла, эквивалентно уравнению 4-ой степени. К счастью, это уравнение имеет достаточное количество целых корней.
Как я и предполагал, мы решаем одну и ту же систему уравнений, а что касается простоты Вашего решения, то оно свелось к тому лишь, что Вы не стали выписывать процесс нахождения двух целочисленных решений: -1 и 4. Если выписать лишь итоговый ответ, то будет ещё проще.

Цитата
wwww
Да, но ранее Вы утверждали, что таких точек "очень много" и изменили свое мнение после того как я дал ответ

Просто внимательнее прочитал текст и обратил внимание на условие про прямую.
А вот раньше я подчеркивал, что целочисленность двух решений обеспечивает возможность школьнику решить задачу разложением многочлена на множители (я здесь не интересуюсь условие про прямую - это просто добавка для выбора двух точек из четырех искомых). Это, конечно так. Но решить задачу геометрически можно и в общем виде (данные величины - координаты точек А, В и тангенс данного угла можно рассматривать как данные взаимно трансцендентные числа). В этих условиях ставим задачу о нахождении квадрата радиуса и центров окружностей, дуги которых дают точки, из которых данный отрезок виден под данным углом. При этом, если все данные 5 чисел рациональны, то и решения рациональны. Нахождение точек пересечения с данной прямой сведется к уравнению второй степени, над кольцом многочленов от 8-ми переменных (добавляются коэффициенты прямой). Таким образом, разложение, необходимое для алгебраического решения школьником, существует и в общем виде.



Редактировалось 1 раз(а). Последний 24.09.2019 10:19.