Как найти ожидаемое количество серий?

Автор темы evs 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеЗапущен новый раздел «Задачки и головоломки»29.08.2019 00:42
ОбъявлениеВ начале года на мехмате МГУ пройдет Восьмая зимняя школа по алгебрам Ли25.09.2019 20:53
ОбъявлениеМатематики решили задачу кубов для всех чисел от 1 до 10006.10.2019 11:48
18.09.2019 15:43
Как найти ожидаемое количество серий?
Уважаемые форумчане задача такова: В урне два белых и один черный шар. Достается наугад один шар, затем возвращается в корзину и так n (для примера n=100) раз. Необходимо найти наиболее ожидаемое количество серий (по признаку повтора одного цвета) в процентном соотношении к n. Пример серий: БББЧЧБЧ...-серия из трех белых, серия из двух черных, серия из одного белого...



Редактировалось 1 раз(а). Последний 18.09.2019 23:17.
19.09.2019 00:00
хм
примерно половина будет серий из одного черного шара. или белого. остальных - меньше.
22.09.2019 12:47
Как найти ожидаемое количество серий?
если p и q не равны, то задача сильно усложняется и общей формулы нет.

Сделал статистику: А)4721 (включают элементарные события с 2/3 и 1/3 вероятностью) шагов. Серии из элементарных событий с вероятностью 2/3: 1)396;2)241;3)169;4)111;5)71;6)48;7)29;8)22;9)14;10)4;11)3;12)3;13)5;14)4;15)1;16)2;17)1;20)1. Б)10 000 (включают элементарные события с 2/3 и 1/3 вероятностью) шагов. Серии из элементарных событий с вероятностью 2/3: 1)744;2)490;3)329;4)225;5)158;6)96;7)68;8)36;9)32;10)16;11)9;12)9;13)8;14)6;16)3;17)1;18)1;20)1. Как по данной статистике вычислить математическое ожидание серий различной длины с вероятностью 2/3 для n=100 шагов.
22.09.2019 23:24
Как найти ожидаемое количество серий?
Пусть проводится n независимых испытаний с вероятностью успеха p. Мы фиксируем серии успехов (Б) и неуспехов (Ч). Найдём матожидание числа серий длиной 1. При n=1 серия всегда одна. При n=2 мы имеем 0 серий или 2 серии. Вероятность последнего события (БЧ или ЧБ) равна 2pq. Матожидание равно 4pq.

При очередном испытании число серий длиной 1 может увеличиться на 1, не измениться, или уменьшиться на 1. Первое происходит, если результат (n+1)-го испытания отличается от результата n-го. Вероятность 2pq, где q=1-p. Второй случай нас не интересует. Третий имеет место, когда на конце была серия длиной 1, а мы к ней далее приписали такой же символ, удлинив её. При n>=2 у нас на конце было БЧ, и далее выпало Ч, или же ЧБ, и далее выпало Б. Вероятность pq.

Таким образом, для матожидания S(n) числа серий длиной 1 при n испытаниях мы имеем равенство S(n+1)-S(n)=2pq-pq=pq при n>=2, то есть S(n)=(n+2)pq. Для случая p=2/3 имеем S(n)=2(n+2)/9. То есть при n=100 серий из одного члена будет около 23.

Ранее было установлено, что общее число серий для этого же случая равно примерно 4n/9, то есть примерно половина из них имеет длину 1.

Для серий длиной 2 рассуждение происходит похожим образом. Для n=1 имеем 0, для n=2 будет p^2+q^2. При n=3 получится 2pq. Далее на каждом шаге число серий длиной 2 увеличивается на одну с вероятностью pq (когда после БЧ появляется Ч или после ЧБ появляется Б). Уменьшение на одну такую серию возможно после БЧЧ или ЧББ, когда появятся Б и Ч соответственно. Вероятность 2(pq)^2. Итого коэффициент увеличения составит pq(1-2pq)=p(1-p)(1-2p+2p^2). При p=2/3 это 10/81. То есть серий длиной 2 при 100 испытаниях получается около 12.

К сожалению со статистикой не сходится, где ошибка?
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти