Прошу проверить доказательство ВТФ для кубов

Автор темы 1sof 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеОткрыта свободная публикация вакансий для математиков26.09.2019 16:34
ОбъявлениеТеХнический редактор - LATEX18.01.2020 21:57
ОбъявлениеВ марте в МГУ имени М.В. Ломоносова пройдет II Кубок Москвы по Го среди студентов ВУЗов14.02.2020 11:44
02.12.2019 22:49
Прошу проверить доказательство ВТФ для кубов
Рассмотрим эквивалентную формулировку ВТФ для кубов:
$C_{a+1}^3+C_{b+1}^3-C_{c+1}^3+\frac{a+b-c}{6}\ne0, \forall a,b,c\in \mathbb N, a<b<c$

предположим, что равенство справедливо. Перепишем:

$C_{a+1}^3+C_{b+1}^3-C_{c+1}^3=-\frac{a+b-c}{6}$

Преобразуем биномиальные коэффициенты в неравенстве в соответствии с формулой:
$C_n^3=C_{n-2}^1+2C_{n-2}^2+C_{n-2}^3$
и перепишем равенство с учетом преобразований:

$C_{a-1}^1+2C_{a-1}^2+C_{a-1}^3+C_{b-1}^1+2C_{b-1}^2+C_{b-1}^3-C_{c-1}^1-2C_{c-1}^2+C_{c-1}^3=-\frac{a+b-c}{6}$
Перенесем в правую часть $C_{c-1}^1=c-1,C_{b-1}^1=b-1,C_{a-1}^1=a-1$:

$2C_{a-1}^2+C_{a-1}^3+2C_{b-1}^2+C_{b-1}^3-2C_{c-1}^2+C_{c-1}^3=-\frac{a+b-c}{6}-(a-1)-(b-1)+(c-1)$

Распишем биномиальные коэффициенты в равенстве:

$(a-1)(a-2)+(b-1)(b-2)-(c-1)(c-2)+\frac{(a-1)(a-2)(a-3)}{3!}+\frac{(b-1)(b-2)(b-3)}{3!}-\frac{(c-1)(c-2)(c-3)}{3!}=-\frac{7}{6}(a+b-c)-1$

Раскроем скобки:
$(a^2-3a+2)+(b^2-3b+2)-(c^2-3c+2)+(a^3-6a^2+11a-6)+(b^3-b^2+11b-6)-(c^3-6c^2+11c-6)=-\frac{7}{6}(a+b-c)-1$

Приведем подобные и перенесем первые степени и константы вправо:



Т.к. мы изначально предположили, что выполняется равенство $a^3+b^3-c^3=0$, то в итоге получим

$-5(a^2+b^2-c^2)=-\frac{28}{3}(a+b-c)+15$

или

$a^2+b^2-c^2=\frac{28}{15}(a+b-c)-3$

Отсюда следует, что $28(a+b-c)$ кратно 15, но из начального уравнения мы знаем, что $a+b-c$ кратно 6. Получается, что $a+b-c$ кратно 2,3,5.

Итак, имеем равенство: $a^2+b^2-c^2=\frac{28}{15}(a+b-c)-3$, необходимо доказать ошибочность этого утверждения. Перепишем его в виде:

$2(C_a^2+C_b^2-C_c^2)+(a+b-c)=\frac{28}{15}(a+b-c)-3$

Вычтем из обеих сторон (a+b-c) и поделим на 2:
$C_a^2+C_b^2-C_c^2=\frac{13}{30}(a+b-c)-6$

Теперь заменив биномиальные коэффициенты в соответствии с формулой:
$C_n^2=C_{n-1}^1+C_{n-1}^2$, получим:

$C_{a-1}^2+C_{b-1}^2-C_{c-1}^2+(a+b-c)+1=\frac{13}{30}(a+b-c)-6$
Вычтем из обеих сторон $a+b-c+1$:

$C_{a-1}^2+C_{b-1}^2-C_{c-1}^2=-\frac{17}{30}(a+b-c)-7$

Распишем биномиальные коэффициенты:
$\frac{a^2+b^2-c^2-(a+b-c)}{2}=-\frac{17}{30}(a+b-c)-7$
Откуда:
$a^2+b^2-c^2=-\frac{64}{30}(a+b-c)-14$, но мы имели изначально:
$a^2+b^2-c^2=\frac{28}{15}(a+b-c)-3$
Правые части этих выражений должны быть равны, а их разность равна нулю, потому как равны левые части:
$-4(a+b-c)-11=0$, откуда $a+b-c=-\frac{11}{4}$, что невозможно, поскольку $a+b-c$ должно быть целым, кратным $2,3,5$. Из данного противоречия следует, что сумма двух кубов не может быть кубом.

Прошу указать на ошибки.



Редактировалось 5 раз(а). Последний 03.12.2019 10:25.
05.12.2019 00:04
ferma
Если это работает для всех чисел то нормально.
У меня пример 5^3+106^3 надо найти числа кандидаты для С при котором могли бы доказать равенство 5^3+106^3=c^3 .

И так вопрос какие числа вы бы вибрали для с и какие вообще не расмотрели для этого примера ?
05.12.2019 17:30
ferma
Эти числа 30..63...96 .5^3+106^3=129^3 только число 129 ^3 кандидат но перелетел на 555489



Редактировалось 2 раз(а). Последний 06.12.2019 07:41.
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти