Задача по касанию вершинами треугольника трех сфер

Автор темы somatayron 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеПравила и принципы форума «Высшая математика»28.10.2009 15:17
ОбъявлениеИщем преподавателя для углубленного обучения статистическим методам29.05.2020 13:22
ОбъявлениеИсследовательские гранты фонда «БАЗИС» 202118.02.2021 17:56
17.12.2019 14:02
Задача по касанию вершинами треугольника трех сфер
Прямая кинематическая задача.

Есть фиксированная точка М с координатами (x0;y0;z0)
Имеется треугольник АВС, жестко связанный с точкой М (тетраэдр MABC). При положении АВС в горизонтальной плоскости (точка М в (0;0;0)) координаты вершин АВС (322; -474; 15) (322; 474; 15) (-1172; 0; 15).

Есть три сферы радиуса r с центрами (x1;y1;z1) (x2;y2;z2) (x3;y3;z3).
Точка М перемещается относительно некой точки С(Xc:Yc;Zc) по радиусу R в плоскости y=0, а основание тетраэдра ABC может вращаться относительно M по оси x и y.

Требуется определить положение вершин A, B и C, чтобы они касались каждой из трех сфер (стороны треугольника могут пересекать сферу)

PS обратная задача оказалась простой, а вот в прямой получается только система 9 уравнений с 10 неизвестными.
17.12.2019 16:36
Непонятно
Мягко говоря, изложено несколько сумбурно. То точка М фиксирована, то она перемещается. Что же с ней таки происходит? То даны конкретные координаты точек А, В, С, то величина радиуса в виде буквы R, то треугольник, то тетраэдр… непонятно.
Могу предложить такой вариант: три вершины тетраэдра лежат на трёх сферах, а четвёртая вершина принадлежит окружности в плоскости ZoX. В итоге получается 12 переменных и 11 уравнений.
17.12.2019 17:01
уточню
По задаче просто для удобства вводил подвижную систему координат. Относительно М строил матрицы поворота. и относительно нее удобно было описать положение вершин АВС - отсюда и "пролезло" упоминание фиксированной

Попробую изложить иначе.
Точка М перемещается по радиусу R относительно точки С в плоскости y=0. Тетраэдр может вращаться относительно точки М с двумя степенями свободы (нет вращения относительно z). Надо найти координаты вершин А, В и С, каждая из которых принадлежит одной сфере.

В принципе получается примерно как у вас. Переменные координаты 3 вершин и угол, образованный вектором СМ (он в общем как и координаты M производный от этих 9 переменных, но выделить не удалось).
17.12.2019 18:04
Короче,
это рычажный механизм с точкой М на кривошипе?
17.12.2019 20:16
Предположение
Если речь о механизме, то, не зная размеров, примерно так?

[IMG]https://s8.hostingkartinok.com/uploads/thumbs/2019/12/f4689a89198f7e7f7a1798c9526a2238.png[/IMG]
18.12.2019 09:13
Да, примерно в этом роде, только сферы внизу
Строго говоря, это упрощение трехстепенной платформы.
Точка М - это центр кардана на конце подвижной балки. Сферы - это возможные положения концов трех шатунов (центры сфер - нижние концы шатунов, верхние концы шатунов крепятся к А, B, C)

Положение центров валов двигателей известно, угол поворота лапок кривошипа тоже известно, то есть центры сфер - входные параметры. Известны координаты С (центра поворотного вала балки СМ) и длинна балки СМ. Надо определить или три точки верхних концов шатунов (9 выходных переменных) или два угла наклона плоскости АВС + координату z точки М (или наклон балки СМ).

то есть на выходе один из вариантов: 1) 9 координат 2) угол балки +2 угла ориентации АВС 3) высота кардана М +2 угла ориентации АВС.

Обратную задачу быстро решил (по положению М и ориентации АВС определить углы поворота валов двигателей) - для работы хватает. Но если было аварийное отключение и платформа застряла в каком то неизвестном положении, надо ее аккуратно вывести, не создавая изламывающих нагрузок на кардан. А для этого нужна прямая задача.
На практике я ее решил, но извращенно, программно (предварительный расчет, подстановка в обратную задачу, вычисление рассогласования с входными, половинное деление и опять по циклу обратная задача до сходимости). Но как то некрасиво получается, не "по фэншую" )
18.12.2019 10:58
Картинка
в данном случае представляет собой решение системы 11-и алгебраических уравнений с 12-ю переменными для взятых с потолка величин. То есть, имея конкретные значения длин, центров, мы получаем все возможные положения механизма в любой его сборке с любой практически требуемой дискретностью. При необходимости углы вычисляются по значениям координат точек. Другими словами, это математическая модель конкретной подвижной системы.
Если такой подход устраивает, могу предоставить информацию достаточную для самостоятельной работы. Заодно, думаю можно попробовать реализовать решение для Ваших значений.
18.12.2019 15:24
Да, было бы хорошо
Мои варианты получаются достаточно громоздкими

Я видимо двумя отличными от вашего способа описывал - 10 уравнений 9 переменных и 12 уравнений 10 переменных (по классике - 1) уравнения сфер, уравнения длин АВС, позиционирование М и 2) - сферы, длины АВС и длины МА, МВ, МС)
Последний вариант решал и "в лоб" и из трех частей системы выражал координаты М и уже про вектору нормали М к плоскости АВС считал углы. Пробовал и "экзотику"-
ориентации треугольников МNА, MNB, MNC (N-проекция M на плоскость АВС), но все равно громоздко выходит

Кстати,натолкнули на одну мысль, попробую еще один вариант
Попробую закончить вариант, но предварительно получается свести к системе 3 уравнений с тремя корнями )))
PS строго говоря, обратную задачу я вообще решил без систем уравнений, сведя к независимым трем задачам на плоскости



Редактировалось 2 раз(а). Последний 18.12.2019 16:52.
18.12.2019 23:16
Предлагаемый способ
тоже можно назвать громоздким. Но зато он очень простой и довольно универсальный. Работает как с механизмами, так и с манипуляторами в виде рук и платформ. Здесь, например, довольно подробно разжёвано и есть ссылки на публикации: http://www.cyberforum.ru/numerical-methods/thread2484870.html
В Вашем случае мы просто рассматриваем все жёсткие связи между точками, учитывая плоское движение точки М. Набегает 11 уравнений для 12 переменных – координат всех точек. Это соответствует одной степени свободы.
20.12.2019 14:59
действительно и тут можно было проще
Все же нашел решение системой из 3 уравнений ))) правда пришлось больше 50 страниц исписать, много промежуточный переводов и подстановок.

И еще одно - 6 уравнений под 6 параметрических переменных, которые потом преобразуются в три



Редактировалось 1 раз(а). Последний 20.12.2019 16:47.
21.12.2019 16:09
Ни схемы,
ни длин, ни координат стационарных точек… Хотя, возможно, кто-то и сумел получить полное представление о задаче.
23.12.2019 09:26
Поясню
Если честно, то потому и написал тут. Я хоть и работаю сейчас в основном по баллистике, но по образованию биомед/метролог, просто имел неплохой опыт МП систем управления. У нас был раньше профильный математик (кажется линейная алгебра) и условный физик (по сути тоже математик, термех, тоже фундаменталка). В итоге всегда были разные методы, но когда касалось оживления реальных механизмов, мои работали сразу без доработки.

Просто их уже нет и хотелось услышать мнение со стороны. Как по мне, так я тоже не совсем понял, откуда 11 уравнений и 12 переменных.3 сферы, 3 длинны треугольника, три расстояния от вершины тетраэдра до точек треугольника... остается только положение тетраэдра через угол наклона балки - вроде речь об этих 11 ур?
Но не набирается 12 переменных.

Я же зашел проще, введением локальной СК. Тогда в уры входит уже тригонометрия (от матрицы поворота), а с учетом симметрии основания тетраэдра многие члены сокращаются, получается удобоваримая система 3 уравнений с 3 неизвестными. Формально там 5 тригонометрических комплексов, которые можно представить в виде параметрических переменных - тогда надо добавить еще 3 уравнения.

Общее же решение делать не стал, так как строго говоря, центры сфер тоже не стационарны (надо вводить длинны лапок кривошипов, углы поворотов валов), так что несколько обрезал задачу.
23.12.2019 10:39
Не видя
схемы или самого изделия, очень трудно понять происхождение и специфику движения. Если, например, точка М движется в плоскости y=0, её кривошип, похоже, не может совершить полного оборота. Если же центры сфер не закреплены, то добавляется ещё 6 степеней свободы, и тогда все прежние условия теряют смысл. Или на центры сфер наложены какие-то связи, или будет просто хаотичное движение и, возможно, полный оборот точки М…
Это всё к тому, что задачу надо излагать очень подробно для однозначного восприятия и взаимопонимания.
Что касается 11 уравнений: Расстояние от М до центра кривошипа 1, y=0,+1=2, расстояние АВ,+1=3, АС,+1=4, ВС,+1=5, АМ, ВМ, СМ,+3=8 и расстояния точек А,В,С до стационарных точек,+3 =11(уравнений). Четыре точки по 3 координаты =12 переменных. Число переменных на 1 больше числа уравнений – это одна степень свободы, то есть имеет место подвижность механизма. При равенстве 3=3, как Вы говорите, подвижности не подразумевается.
11 уравнений это в лоб, но по факту их 10, потому что у точки М y равен 0. Вполне возможно, что система ещё каким-то образом сокращается, но тогда она превращается из полиномиальной в трансцендентную. Полиномиальные системы теоретизированы, и мат пакеты выдают их полное решение при разумных размерностях.
Насколько я слышал, платформы это не совсем рычажные механизмы, это из области манипуляторов, и число степеней свободы у них заведомо больше 1. Задачи для таких устройств распадаются на прямую и на обратную. Решая обратную, мы получаем какое-то решение прямой задачи. Прямая задача – это просто объёмная однозначная рутина, а обратная задача не является однозначной. Другими словами, одно и то же фиксированное положение устройства мы можем получить за счёт бесконечного множества решений прямой задачи.
23.12.2019 13:21
Попробую описать точнее
Просто в правилах указывалось, что ссылки давать нельзя, поэтому и обходился словами (там 6 переменных для 3 уравнений, но 3 являются входными, 3 расчетными). Попробую чуть детальнее.

Три двигателя-редуктора в основании, от них идут три кривошипно-шатунных механизма. Из нижних точек шатунов (длинна Ls) я и строю сферы (их центры определяются поворотом лапок кривошипов длинной Lk), а верхние представляю в виде равнобедренного треугольника (АВС). Верхние точки шатунов крепятся к подвижной раме (с двух сторон шатунов поворотные подшипники).
Чтобы рама не "сложилась", вводится подвижная опора - балка известной длинны L крепится на валу (в точке С), а на другом конце - карданная опора (точка М), прикрепленная к подвижной раме АВС. Так как М может перемещаться только в плоскости движения балки (по вертикали и немного вдоль продольной оси платформы), то рама (плоскость АВС) может перемещаться по вертикали и крену с тангажом (кардан не даст скрутить по курсу).

Lk, Ls, L известны, длинны АВ, ВС, АС и АМ, ВМ, СМ известны.

Основной была обратная задача - как повернуть валы для нужного положения подвижной рамы. Я свел к трем независимым плоским задачам и все работает отлично (вторые решения ограничил - кривошипы работают только в "наружней части" траектории)
Обратная задача - по положению валов выяснить положение платформы. Применить тот же метод конечно можно, но получается громоздко, а "пристрелочные" обратные задачи до обнуления рассогласования как то уж больно по таушному. Вот и пробую другие способы, чтобы как-то красивее смотрелось

Могу на почту рисунок схемы скинуть, если не слишком понятно



Редактировалось 1 раз(а). Последний 23.12.2019 13:28.
23.12.2019 14:54
Да, конечно,
всем можно давать ссылки, а вот именно Вам нельзя? Они же по делу, тем более для выделения ссылок на форуме есть специальная функция.
Становится чуть яснее. Если платформа называется трехстепенной, то, получается, у неё 3 степени свободы. И в подтверждение наконец-то возникло: “там 6 переменных для 3 уравнений”.
Значит, так и есть – это не рычажный механизм, а манипулятор. Вы пишите: ” Обратная задача - по положению валов выяснить положение платформы”, но это прямая задача. Обратная, когда по положению платформы, мы находим управляющие параметры. Ведь здесь Вы пишите: ” Основной была обратная задача - как повернуть валы для нужного положения подвижной рамы”. Не могу понять, как Вы находите входные параметры по положению платформы, потому что выбор бесконечен… Предлагаемое решение исходит из того, что известна траектория движения платформы, а ей (траектории) подбирается конкретный набор входных параметров по математически накладываемым ограничениям на движение, сводящим три степени свободы к одной. Входные же параметры автоматически вычисляются по найденным координатам точек.
Понятно, надо схему, чтобы слова были привязаны к изображению. Если Вы с задачей и так справляетесь, то смотрите сами, как поступить.

Ещё подумал. Получается, точка М введена искусственно, изначально в устройстве этой точки физически нет? А не из-за этой ли точки клинит? Если точки М на кривошипе не будет вместе с её жесткими связями, то у нас остаются 3-и предусмотренные конструкцией степени свободы? Тогда подобные точки надо задавать математически, и всё будет нормально.



Редактировалось 3 раз(а). Последний 23.12.2019 19:54.
24.12.2019 09:38
В общем так и есть
Точка М вводилась принудительно чтобы обеспечить эти 3 степени (лишить четвертой).

Если разбирать платформы (это уже сам разбирался, единой теории не нашел, она только по Гью-Стбарта есть, но это уже 6-степенные, там легко сделал), то для двухстепенных обычно используются 2 рычага и карданная опора. Для третьей степени (2 угла+высота) на маленькой нагрузке вводится третий рычаг а кардан заменяется на пружину. Учитывая большую массу (спускаемый аппарат Союза), функцию пружины в данной платформе выполняет подвижный коней балки. Однако из-за плохой заводской модели (несогласование управления приводами с реальными ограничениями точки М) и движения М в плоскости возникают изламывающие моменты на Кардан, плюс "конкуренция" между приводами.
Модель я сделал (по требуемому положению рамы вычислить положения валов, плюс алгоритмы прохождения промежуточных значений). Но так как стоп может быть в произвольной точке, то для начала следующего использования (к примеру был сбой или пропадание питания) надо вывести раму в базовое положение - а для безопасного выведения надо знать начальное положение рамы по положению приводов, иначе можно случайно заклинить ее.

В принципе, можно конечно вручную опускать или надеяться, что схема выдержит, но я захотел все делать "красиво". Для начала реализовал описанный ранее способ пристрелочной оценки - прогноз, оценка рассогласований входных параметров и опять прогноз по циклу до обнуления рассогласовки (громоздкий, но результативный, плюс использует уже рабочий проверенный алгоритм).

========
Сейчас пробую такой способ. 6 уравнений - сферы+стороны АВС. При этом 6 переменных - три (входные) это углы валов, по которым считаются координаты центров сфер, а еще три - выходные. Выходные это точки А, В, С, их я выразил через положение относительно точки М при нулевых углах (это известно), через матрицу поворота по двум осям (эти углы - первые 2 переменные) и положение самой точки М (угол балки, третья переменная).

Удобство в том, что относительно точки М (до поворота) АВС равнобедренный, часть координат или одинаковы или отличаются знаком. Там идут сокращения и тригонометрические тождества.
Конечно много писанины, но на выходе достаточно лаконично выходит
24.12.2019 12:06
Если
входные параметры контролирует компьютер или нечто, но тоже с возможностью программирования, то Вы вполне можете обойтись без дополнительного железа, чтобы ограничивать степени свободы. Вы составляете мат модель с ограничениями в виде дополнительных уравнений, как бы виртуальных точек М. В данном случае мат модель представляет собой систему нелинейных уравнений. Решая эту систему, Вы получаете значения управляющих (входных) параметров, которые с большой точностью воспроизведут движение, которое, например, позволяла воспроизводить точка М. Мало того, Вы легко можете менять положение этой точки (или чего другого) и придумывать ей бесконечное множество траекторий. Это и движение по наклонной окружности или вообще по любого вида пространственной кривой… Кроме этого Вы сможете задавать скорости и ускорения в любой точке платформы.
Не в Новочеркасске ли всё происходит?



Редактировалось 1 раз(а). Последний 24.12.2019 12:07.
24.12.2019 12:51
Да, в Новочеке )
Если дополнительное железо убирается, то получается неуправляемая 6 степенная. Для управляемой 6 степенной используется гью-стюарта, там 6 управляющих приводов.
Только кардан препятствует сворачиванию по курсу и только жесткая траектория М препятствует неопределенности трех КШМ (если бы была гидро/пневмо или актуаторы с шириково-винтовой, то неопределенность была бы только по третьему вращению, но с КШМ просто сложилась бы до пределов поворотных подшипников)
24.12.2019 15:01
Плохо,
что управлять нельзя. Неужели нет средств на модернизацию устройства, хотя Рогозину и его детям тоже средства нужны, и что, как видим, важнее?
Могу порекомендовать пакет Maple, чтобы облегчить борьбу с нелинейностями. Там, кроме мощных процедур решения нелинейных уравнений, есть оптимизационные пакеты, которые тоже неплохо справляются с этими системы, особенно если чистого нуля нет, но нужно получить минимизирующие значения. Ещё есть встраиваемый в Maple пакет прямого поиска, написанный Сергеем Моисеевым. В этом пакете есть возможность работать непосредственно с системами уравнений. Информация на форуме производителя MaplePrimes.



Редактировалось 1 раз(а). Последний 28.12.2019 13:57.
24.12.2019 15:13
Тут претензии скорее к Кудрину )))
Работа задельная, делаем на свои средства. Ни ЦПК ни Энергия ее еще не заказывали, хотя неформально по 7 контрактам есть интерес, но из-за новых правил надо все сначала сделать, так как после контракта времени на работу уже не будет, по 44 ФЗ сроки нереальные

Наши поспешили в свое время, закупили муромскую ДП, не особо для наших целей подходящую (она для наземной техники), 3 года мертвая стояла на заводских тестах (как уже выяснил, весьма топорных), пока с отпуска не вышел и не решил ей заняться ).
То что требуется получилось быстро, но хочется на опережение учесть недостатки конструкции (у нас даже не догадываются о наличии подводных камней)

PS А родственник случайно не Скроботов?



Редактировалось 1 раз(а). Последний 24.12.2019 15:27.
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти