Разложение функции многих переменных по произведениям базисных функций.

Автор темы mihail 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеЗапущен новый раздел «Задачки и головоломки»29.08.2019 00:42
ОбъявлениеОткрыта свободная публикация вакансий для математиков26.09.2019 16:34
ОбъявлениеВ марте в МГУ имени М.В. Ломоносова пройдет II Кубок Москвы по Го среди студентов ВУЗов14.02.2020 11:44
25.12.2019 18:07
Разложение функции многих переменных по произведениям базисных функций.
Добрый день.
Хотел бы попросить помощи людей, кто разбирается в математике. Может быть, я не совсем корректно сформулирую задачу, но постараюсь объяснить более-менее на пальцах. Наверняка, этот вопрос является тривиальным, и я просто чего-то не доучил в свое время. Прошу не судить слишком строго.
Допустим у нас есть набор базисных функций одной переменной $\left \{ f_{i}(x) \right \}_{i=1}^{\infty }$, это значит, что мы можем разложить любую другую функцию одной переменной в их линейную комбинацию. Предположим, что теперь у нас есть функция двух переменных $u(x,y)$ и два набора базисных функций $\left \{ f_{i}(x) \right \}_{i=1}^{\infty }$ и $\left \{ g_{j}(x) \right \}_{j=1}^{\infty }$. Задача состоит в том, чтобы разложить эту функцию в линейную комбинацию произведений $f_{i}(x)g_{j}(x)$. Всегда ли это можно сделать? Если не всегда, то при каких условиях? Есть ли обобщения на случай многих переменных? Буду рад ссылкам на литературу, где этот вопрос обсуждается.
Благодарю за внимание.



Редактировалось 1 раз(а). Последний 25.12.2019 20:05.
25.12.2019 21:48
хм
Цитата
mihail
Допустим у нас есть набор базисных функций одной переменной $\left \{ f_{i}(x) \right \}_{i=1}^{\infty }$, это значит, что мы можем разложить любую другую функцию одной переменной в их линейную комбинацию.
Сомнительное утверждение. Это от базисных функций зависит. Например, если это все элементарные аналитические функции, то как, например, разложить функцию f(x)=e^x*tg(x)?
25.12.2019 22:32
re: хм
Цитата

Сомнительное утверждение. Это от базисных функций зависит.
Если я не ошибаюсь, базисная функция - это функция, которая является одним из элементов базиса, а базис по определению - это набор элементов некоторого пространства, через линейную комбинацию которых можно выразить любой другой элемент данного пространства. Опять же, если это не так, поправьте. Все строгие определения я уже подзабыл. Ну вопрос собственно в этом и состоит, есть ли какие-то строгие формулировки на эту тему со всеми ограничениями на классы функций, и где это можно прочитать? Вопрос возник просто из любопытства. Зачастую решения линейных уравнения в частных производных представляют в виде ряда по произведениям функций одной переменной. Хочется понять, насколько это общий метод поиска решений/приблизительных решений уравнений. Понятно, что реально так искать решения есть смысл только для определенных классов уравнений, но вопрос просто из спортивного интереса :)



Редактировалось 1 раз(а). Последний 25.12.2019 22:33.
25.12.2019 23:45
хм
насколько я соображаю - самый простой способ - это разложение функций в ряд тейлора на степенные члены. а там что угодно творите.
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти