Задача и вопрос (линал/алгебра)

Автор темы artempalkin 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеЗапущен новый раздел «Задачки и головоломки»29.08.2019 00:42
ОбъявлениеТеХнический редактор - LATEX18.01.2020 21:57
ОбъявлениеВ марте в МГУ имени М.В. Ломоносова пройдет II Кубок Москвы по Го среди студентов ВУЗов14.02.2020 11:44
12.02.2020 22:48
Задача и вопрос (линал/алгебра)
1) Олимпиадная задачка, типа сам придумал, но пока никому не задавал

Пусть дана конечная группа квадратных матриц порядка m $ S=\{M_i\}$, такая что $ |S|=n $. Чему может быть равен определитель матрицы $M=\sum_{i=1}^nM_i$?

2) Вопрос неявно связан с предыдущей задачей (может быть только в моей голове).

Предположим, существует некая квадратная матрица А порядка n такая, что $ tr A^k=0 $ для любых натуральных к. Следует ли из этого, что матрица А нильпотентна? Мне так кажется, что да, но строгого доказательства пока не придумал.
13.02.2020 10:49
хм
Ответ на 1 вопрос достаточно очевиден. Раз это группа, то сумма всех элементов группы - тоже элемент группы.
13.02.2020 21:59
ой
Ай-ай-ай, я не написал, что это группа относительно операции умножения матриц!
16.02.2020 23:43
По задачкам
По первой задачке: для любого $i$ имеем равенство: $M_iM=M$
Отсюда:
Если $\detM\ne0$, то $M_i=E$. Таким образом, группа состоит из одной единичной матрицы.
Ответ: Либо $\detM=0$, либо $\detM=1$ и группа одноэлементна.

Вопрос сводится к равенству нулю всех собственных значений матрицы $A$.
Пусть $a_1,\,...,\,a_k$ - все не нулевые собственные значения (попарно различные) и $r_1,\,...,\,r_k$ их кратности.
Тогда кратности являются решениями системы уравнений:
$\left\{\begin{array}{c}a_1r_1+...+a_kr_k=0\\........\\a_1^kr_1+...+a_r^kr_k=0\end{array}$
Т.к. мы выбирали все ненулевые попарно различные собственные значения, то определитель системы не равен нулю (определитель Вандермонда), следовательно, все кратности равны нулю, т.е. ненулевых собственных значений нет.



Редактировалось 4 раз(а). Последний 19.02.2020 03:39.
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти