Помогите, пожалуйста, исследовать сходимость ряда

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\alpha^n}{\beta^n+n}=a_{n}; \beta\ge0; $

Моё решение

Соотношение между альфой и бетой неизвестны, альфа может быть:

$1.\alpha < \beta$
$2.\alpha > \beta$
$3.\alpha < 0$
$4.\alpha >0$

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\alpha^n}{\beta^n+n}=\sum_{n=1}^{\infty}( \frac{\alpha}{\beta})^n\frac{1}{1+\frac{n}{\beta^n}};$

$\sum(\frac{\alpha}{\beta})^n=b_{n};$

$\sum\frac{1}{1+\frac{n}{\beta^n}}=c_{n};$

$\lim_{\infty}(a_{n})=0 $

(ряд сходится) =>

$1.lim (b_{n})=0$ или $2.lim (c_{n})=0$
$2. lim(c_{n})=0; \frac{n}{\beta^n}\rightarrow\infty;1\ge\beta\ge0$
$3.lim(b_n)=0$

При каких условиях $b_n=0$



Редактировалось 4 раз(а). Последний 14.04.2020 20:59.