О несчетных множествах

Автор темы zklb (Дмитрий) 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеРаботодателям и кадровым агентствам: Размещение вакансий26.03.2008 03:07
ОбъявлениеСпециалист по математике (разработчик контента для дистанционной системы обучения)31.03.2020 11:52
ОбъявлениеИщем преподавателя для углубленного обучения статистическим методам29.05.2020 13:22
04.06.2020 20:01
О несчетных множествах
правильно ли я понимаю, что мощность булеана множества действительных чисел больше чем континуум? вроде как алеф 2. и булеан булеана имеет еще большую мощность и т. д.?



Редактировалось 1 раз(а). Последний 05.06.2020 01:02.
04.06.2020 22:22
Совершенно верно
Да, булеан любого множества имеет мощность строго большую, чем мощность этого множества.
Что касается до алефов, то их обычно используют для обозначения ряда кардинальных чисел (сейчас деление на кардиналы, понимаемые как ординалы наименьшие в своей мощности, и алефы = кардинальные числа - аналоги количественных числительных в бесконечном случае, думаю, устарело), то алеф-0 равен омега-0 - счетные кардиналы, далее идут несчетные кардиналы. Булеан натуральных чисел имеет мощность континуума. Равенство алеф-1 и континуума есть содержание континуум-гипотезы, которую можно признать или не признать еще одной аксиомой. Равенство мощности булеана для любого бесконечного множества следующей за данным множеством мощности - это обобщенная КГ. Она независит от других аксиом и КГ. Вообще, континуум может оказаться равным алеф-5.
04.06.2020 22:33
хм
да. континуум гипотеза забавна. спасибо. но вот все конспекты по дискретке что то стыдливо умалчивают о старших алефах
04.06.2020 22:38
и чтобы не путать
я сам то не совсем понимаю разницу между континуумом и алеф 1. как они определяются?
06.06.2020 20:29
Об алефах и омегах
Алефы, как обозначения чисел, определяющих мощности множеств, видимо, были введены Кантором.
Позднее было принято отождествлять количественные числа с подходящими порядковыми: кардинал - это наименьший ординал данной мощности, т.е. такой ординал, который не равномощен меньшему ординалу.
Видимо Кантор ввел традицию обозначать алефами мощности. Позднее, кардиналы стали обозначать омегами:
$\aleph_0=\omega_0$ - наименьший бесконечный кардинал (мощность)
$\aleph_1=\omega_1$ - следующая за $\aleph_0$ мощность.
$\aleph_2=\omega_2$ - следующая за $\aleph_1$ мощность.
...............................................................................................................................
$\aleph_{n+1}=\omega_{n+1}$ - следующая за $\aleph_n$ мощность.
Если $\lambda$ - предельный ординал, то мощность с номером $\lambda$
есть наименьший ординал, превосходящий все кардиналы с номерами меньше $\lambda$:
$\aleph_{\lambda}=\bigcup_{\alpha<\lambda}\aleph_{\alpha}$
Где в этом ряду расположен континуум? - бывает всякое, зависит от принятых аксиом. Во всяком случае, аксиома выбора гарантирует, что он где-то там сидит.
Равенства алефов и омег - тоже выражение аксиомы выбора. Если не предполагать аксиому выбора, то равенства
$\aleph_0=\omega_0$ - наименьший бесконечный кардинал (мощность)
$\aleph_1=\omega_1$ - следующая за $\aleph_0$ мощность.
$\aleph_2=\omega_2$ - следующая за $\aleph_1$ мощность.
...............................................................................................................................
$\aleph_{n+1}=\omega_{n+1}$ - следующая за $\aleph_n$ мощность.
не выполняются. Например, при аксиоме детерменированности над счетной мощностью располагаются два алефа между собою не сравнимые.
Впрочем, без аксиомы выбора алефы просто не образуют цепь.
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти