Алефы, как обозначения чисел, определяющих мощности множеств, видимо, были введены Кантором.
Позднее было принято отождествлять количественные числа с подходящими порядковыми: кардинал - это наименьший ординал данной мощности, т.е. такой ординал, который не равномощен меньшему ординалу.
Видимо Кантор ввел традицию обозначать алефами мощности. Позднее, кардиналы стали обозначать омегами:
$\aleph_0=\omega_0$ - наименьший бесконечный кардинал (мощность)
$\aleph_1=\omega_1$ - следующая за
$\aleph_0$ мощность.
$\aleph_2=\omega_2$ - следующая за
$\aleph_1$ мощность.
...............................................................................................................................
$\aleph_{n+1}=\omega_{n+1}$ - следующая за
$\aleph_n$ мощность.
Если
$\lambda$ - предельный ординал, то мощность с номером
$\lambda$есть наименьший ординал, превосходящий все кардиналы с номерами меньше
$\lambda$:
$\aleph_{\lambda}=\bigcup_{\alpha<\lambda}\aleph_{\alpha}$Где в этом ряду расположен континуум? - бывает всякое, зависит от принятых аксиом. Во всяком случае, аксиома выбора гарантирует, что он где-то там сидит.
Равенства алефов и омег - тоже выражение аксиомы выбора. Если не предполагать аксиому выбора, то равенства
$\aleph_0=\omega_0$ - наименьший бесконечный кардинал (мощность)
$\aleph_1=\omega_1$ - следующая за
$\aleph_0$ мощность.
$\aleph_2=\omega_2$ - следующая за
$\aleph_1$ мощность.
...............................................................................................................................
$\aleph_{n+1}=\omega_{n+1}$ - следующая за
$\aleph_n$ мощность.
не выполняются. Например, при аксиоме детерменированности над счетной мощностью располагаются два алефа между собою не сравнимые.
Впрочем, без аксиомы выбора алефы просто не образуют цепь.
