Статистика. Эффективные оценки.

Автор темы pipetz 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеЗапущен новый раздел «Задачки и головоломки»29.08.2019 00:42
ОбъявлениеОткрыта свободная публикация вакансий для математиков26.09.2019 16:34
ОбъявлениеСпециалист по математике (разработчик контента для дистанционной системы обучения)31.03.2020 11:52
13.06.2020 16:42
Статистика. Эффективные оценки.
Случайная величина $\xi$ задана функцией плотности распределения зависящей от параметра $\theta$
$\xi\sim{p}\left(x;\theta\right):=\left\{\begin{array}{ll}e^{\theta-x},&x\geq\theta \\ 0,&x<\theta\end{array}$
Функция $\tilde\theta:=\min\left(x_1,\ldots,x_n\right)$ является оценкой для параметра $\theta$.
Является ли оценка $\tilde\theta_1:=\tilde\theta-\frac1{n}$ эффективной, то есть обращается ли для неё неравенство Рао-Крамера в равенство?

По мне так в данном случае вообще нельзя применять неравенство Рао-Крамера, так как множество исходов для которых $p(x;\theta)>0$ зависит от выбора $\theta$ или я не прав?

Но если всё таки подcчитать $D\tilde\theta_1$ и $I(\theta)$, то получим
$ 1-F_{\tilde\theta}\left(x\right)=P\left\{\min(x_1,\ldots,x_n)>x\right\}=P\left\{x_1>x,\ldots,x_n>x\right\}=\prod_{i=1}^n\left(1-F(x)\right)=e^{n(\theta-x)} \Rightarrow $
$\Rightarrow{F}_{\tilde\theta}\left(x\right)=1-e^{n\left(\theta-x\right)}\Rightarrow\varphi\left(x\right)=F'_{\tilde\theta}\left(x\right)=ne^{n(\theta-x)}$
Где функция плотности распределения для $\tilde\theta$ обозначена как $\varphi\left(x\right)$, тогда
$ E\tilde\theta=\int_{\theta}^{\infty}x\varphi\left(x\right)dx=\int_{\theta}^{\infty}nxe^{n(\theta-x)}dx=e^{n\theta}\int_{\theta}^{\infty}nxe^{-nx}dx=e^{n\theta}\frac1{n}\int_{n\theta}^{\infty}te^{-t}dt= -\frac{e^{n\theta}}{n}\int_{n\theta}^{\infty}tde^{-t}=-\frac{e^{n\theta}}{n}\left(\left.te^{-t}\right|_{n\theta}^{\infty}-\int_{n\theta}^{\infty}e^{-t}dt\right)= $
$ =-\frac{e^{n\theta}}{n}\left(-n\theta{e}^{-n\theta}-e^{-n\theta}\right)=\theta+\frac1{n} $
$ E\tilde\theta^2=\int_{\theta}^{\infty}x^2\varphi\left(x\right)dx=\int_{\theta}^{\infty}nx^2e^{n(\theta-x)}dx=\frac{e^{n\theta}}{n}\int_{\theta}^{\infty}\left(nx\right)^2e^{-nx}dx= -\frac{e^{-n\theta}}{n^2}\int_{n\theta}^{\infty}t^2de^{-t}=-\frac{e^{n\theta}}{n^2}\left(\left.t^2e^{-t}\right|_{n\theta}^{\infty}-2\int_{n\theta}^{\infty}te^{-t}dt\right)= $
$ =-\frac{e^{n\theta}}{n^2}\left(-(n\theta)^2e^{-n\theta}-2e^{-n\theta}(n\theta+1)\right)=\theta^2+\frac{2n}{\theta}+\frac2{n^2}= \left(\theta+\frac1{n}\right)^2+\frac1{n^2}=\left(E\tilde\theta\right)^2+\frac1{n^2} $
$D\tilde\theta=E\tilde\theta^2-\left(E\tilde\theta\right)^2=\frac1{n^2}$
$I\left(\theta\right)=\int_{\theta}^{\infty}\left(\frac{\partial\ln{p}(x;\theta)}{\partial\theta}\right)^2p\left(x;\theta\right)dx=\int_{\theta}^{\infty}p\left(x;\theta\right)dx=1$
Нетрудно видеть, что полученные значения $D\tilde\theta_1=D\tilde\theta=1/n^2$, $I(\theta)=1$ не удовлетворяют неравенству
$D\tilde\theta_1\ge\frac1{nI(\theta)}$
при объёме выборки больше 1.



Редактировалось 4 раз(а). Последний 13.06.2020 19:05.
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти