Площадь среднего сечения произвольной выпуклой фигуры

Добренький всем денёчек!

Всем понятно, что для сферы площадь проекции на плоскость в 4 раза меньше площади поверхности сферы.
В тоже время, в этих ваших интернетах математики вещают, что это справедливо в отношении средней проекции любого выпуклого тела.

С другой стороны, можно явным образом показать, что диаметр окружности, образующейся при произвольном сечении сферы в среднем в $\frac{\pi}{4}$ раза меньше диаметра самой сферы.
Сечение - это не проекция. Но нет ли похожей фишки для произвольного выпуклого тела? Можно ли связать какие-нибудь "мерные" характеристики произвольного выпуклого тела (диаметр вписанной/описанной сферы, площадь поверхности, объём или хоть что-нибудь) с какими-нибудь "мерными" характеристиками его некоторым образом усреднённого сечения (диаметром вписанной/описанной окружности, площадью и т.д.)? Мне бы, конечно, больше всего подошла связь объёма тела и площади среднего произвольного сечения, но если в общем виде связь имеется только для каких-нибудь более сложных характеристик - буду довольствоваться и ей. Кто-нибудь встречал что-нибудь в этом духе?

Когда я говорю о среднем диаметре окружности, как сечения сферы, то я говорю об интеграле по области значений для диаметра сечения окружности, как функции параметра, определяющего положение сечения относительно сферы, делённого на "размер" области определения параметра - т.е. обычное среднее по интервалу значение функции. Например вот так:

$ <d> = \frac{1}{D} \int_{h=-D/2}^{D/2} \sqrt{D^2-4h^2} \, dh = \frac{\pi}{4} D$,

где d - диаметр сечения сферы диаметром D, h - расстояние от центра сферы до плоскости сечения.

Про проекции - "пример из интернетов" - т.е. я это видел в "устной" форме в каких-то математических роликах. Скорее под средней площадью проекции также имеется ввиду интеграл по всем параметрам, определяющим площадь произвольной проекции выпуклого тела, делённый на "размер" области определения параметров - т.е. обычно среднее по области определения многопараметрической функции. Но как я и сказал, меня не интересует проекция, меня интересует - сечение произвольного выпуклого тела и связь его "мерных" характеристик с "мерными" характеристиками тела (лучше всего некоторым образом усреднённой площади сечения и объёма тела). Пример с проекцией я привёл в качестве иллюстрации того, что что-то такое где-то порой встречается. Поэтому мне неясно зачем же Вам "для начала" определить что такое средняя проекция, если она здесь вообще только для иллюстративного примера, а интерес мой в другом.



Редактировалось 5 раз(а). Последний 19.07.2020 04:32.