Доказательство теоремы Ферма в уме

Автор темы spirin 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеЗапущен новый раздел «Задачки и головоломки»29.08.2019 00:42
ОбъявлениеПреподаватель мехмата МГУ удостоен международной премии по математике Presburger Award28.07.2020 01:04
ОбъявлениеГранты для студентов и аспирантов мехмата и физфака МГУ на обучение в магистратуре Кембриджа20.10.2020 18:59
10.07.2020 16:00
Доказательство теоремы Ферма в уме
Возьмём три пустых куба $a^3, b^3, c^3$ такие, что $a < b < c$, и будем их чем-нибудь заполнять: кубиками, шариками, камешками, снарядами, учебниками, цифрами, причём из какого угодно материала, какого угодно размера и какой угодно конфигурации. Для полной уверенности в том, что по форме мы получили именно куб, необходимо выстроить наши предметы, будь они одинаковыми или неодинаковыми, в структуру куба: по длине, ширине и высоте этих предметов должно быть одинаковое число. В этом и заключается математическое условие, необходимое для доказательства теоремы Ферма, в противном случае мы не получим куб. Из девяти предметов кубическую форму не получить, ибо один из предметов окажется лишним.

Число обозначается точкой на числовой оси, поэтому воспользуемся именно точками для заполнения трёх объёмов $a^3, b^3, c^3$. Чтобы эти объёмы приняли форму кубов, точки по мере их заполнения должны расположиться в структуру $x×x×x$.

Итак, начнём заполнять три куба, закладывая на каждом шаге ровно по одной точке в куб $a^3$ и в куб $c^3$. Когда малый куб окажется сформированным полностью — а сформируется он, разумеется, первым — продолжим закладывать точки тем же образом, строго по одной, но теперь уже в средний куб $b^3$ вместо самого маленького, а вторую точку будем по-прежнему помещать в большой куб.

В тот момент, когда большой куб $c^3$ окажется построенным полностью, остановим процесс и подведём окончательные итоги.

1. Самый маленький объём представляет собой точный куб $a^3$.
2. Самый большой объём представляет собой точный куб $c^3$.
3. Средний объём не является геометрически точным кубом.

По поводу первых двух пунктов сомнений нет, это верно по построению. Но откуда мы знаем, третий объём — не куб?

Данный факт был доказан Леонардом Эйлером ещё в 1770 году. Сформулировать его заключение можно так: из трёх кубов в уравнении Ферма по крайней мере один не является кубом.

Несмотря на то, что промежуточный объём между $a^3$ и $c^3$ не является точным кубом, в нём достаточно точек для того, чтобы образовать из них точный куб по крайней мере не меньший, чем $a^3$, ибо $2a^3 < c^3$ в силу принятого нами условия $a<b<c$.

Отсюда можно уверенно заключить, что большой куб $c^3$ содержит в себе больше точек, чем их насчитывается в двух малых кубах:

$a^3$ + ($b^3$ + лишние точки) $= c^3$

Теперь изменим порядок сборки, начиная процесс не с малого куба $a^3$, а со среднего куба $b^3$. По завершении заполнения большого куба $c^3$ приходим к следующим итогам.

1. Средний объём представляет собой точный куб $b^3$.
2. Самый большой объём представляет собой точный куб $c^3$.
3. Самый маленький объём не является точным кубом.

Количества точек, уже существующих в самом маленьком объёме, не хватит на то, чтобы сложить из них следующий по размеру точный куб $(a+1)^3$, но их непременно хватит на то, чтобы построить из них вполне законченный геометрический куб $a^3$. Ведь по крайней мере восемь точек там уже имеется, так как наименьшее значение числа $a$ равно трём:

$a + b = c + d$

Число $d$ в этом уравнении является наименьшим и чётным, а наименьшее чётное число — это двойка. Следовательно, наименьшее число $a$ равняется трём. А этого уже достаточно, чтобы констатировать наличие точного куба $a^3$ в левой части уравнении Ферма:

($a^3$ + лишние кубики) $+ b^3 = c^3$

Но раз большой куб всегда превышает два малых куба уже при $n=3$, тем более теорема Ферма справедлива для более высоких показателей $n>3$. Что и требовалось доказать в уме.

Для общего доказательства теоремы Ферма вполне достаточно доказательства для случая $n=3$.

Оппоненты могут возразить:

— Остановите процесс сборки не на большом кубе, а на двух малых, и тогда лишние кубики у вас окажутся в правой части уравнения Ферма. Следовательно, большой куб может быть и меньше двух малых.

— Неужели объём большого куба может измениться, если заполнять его другим каким-нибудь способом? Кубы-то одни те же!

— А вы возьмите другие три куба и завершите сборку на двух малых кубах!

— Что значит «взять другие кубы»? Поменять буковки $a, b, c$ на буковки $k, l, m$?

Самая большая глупость — это делать одно и то же снова и снова в надежде на другой результат (А. Эйнштейн).

Этому афоризму Эйнштейна можно противопоставить противоположное по содержанию высказывание:

Самая большая глупость — это заполнять одни те же объёмы разными способами снова и снова в надежде на другой результат.

Видимо, Пьер Ферма неслучайно застолбил в своей теореме именно большой куб, а не два малых. Похоже, людям в XVII веке было уже известно, что получение целого из частей — путь индуктивный, запрещённый законами логики.
10.07.2020 17:54
.
Цитата
spirin
ибо $2a^3 < c^3$ в силу принятого нами условия $a<b<c$.

Из условия $a < b < c$ не следует $2a^3 < c^3$.
10.07.2020 18:10
Нужны пояснения
Цитата
r-aax
Из условия $a < b < c$ не следует $2a^3 < c^3$.

Теорема Ферма доказана Эйлером для трёх произвольных кубов, и следовательно, даже в случае равенства двух малых кубов друг другу уравнение Ферма не выполняется.
Тем более это справедливо для уменьшенного среднего куба.



Редактировалось 1 раз(а). Последний 10.07.2020 18:11.
10.07.2020 19:08
...
Цитата
spirin


Самая большая глупость — это заполнять одни те же объёмы разными способами снова и снова в надежде на другой результат.

Браво! Феноменальное доказательство ВТФ! biggrin
10.07.2020 20:52
Сарказм - это не аргумент.
Цитата
alexo2
Браво! Феноменальное доказательство ВТФ! biggrin

Сарказм -- это не аргумент. Если нашли ошибку, надо просто на неё указать, а если пока ещё не нашли, то сами знаете, куда вам надо идти. Там её и найдёте.

Впрочем, так и быть, переформулирую афоризм Эйнштейна, чтобы чересчур придирчивая публика не нервничала.

Самая большая глупость — это перекладывать одни и те же купюры в одном и том же кошельке в надежде на то, что один из способов сделает вас богаче.



Редактировалось 1 раз(а). Последний 11.07.2020 05:29.
13.07.2020 16:28
Кубизм
spirin
Вы рассудили правильно = невозможно собрать большой куб из маленьких кубиков без числового коэффициента количества маленьких кубиков. В этом и состоит ВТФ. Но доказательства в нужной и научной форме не представили...
13.07.2020 16:34
кубизм
Цитата
vadimkaz
Но доказательства в нужной и научной форме не представили...
Позвольте уточнить: чем отличается нужная научная форма от ненужной ненаучной? Хотелось бы знать необходимое и достаточное условие.
14.07.2020 00:50
кубизм
Цитата
spirin
Цитата
vadimkaz
Но доказательства в нужной и научной форме не представили...
Позвольте уточнить: чем отличается нужная научная форма от ненужной ненаучной? Хотелось бы знать необходимое и достаточное условие.
Про ненаучную форму даже не заикался. Необходимо понимать, что если мы делим большой куб на равные маленькие кубики, то получится количество этих меньших кубиков в третьей степени... и достаточно понять, что два меньших кубика (как их не трансформируй) не могут заполнить без полости или грыжи данный куб.



Редактировалось 1 раз(а). Последний 14.07.2020 01:08.
14.07.2020 08:20
Бит информации
Цитата
vadimkaz
Про ненаучную форму даже не заикался.
Я имел в виду вашу фразу "Но доказательства в нужной и научной форме не представили..."
Если вы не знаете, что такое "не-нужная не-научная форма", вы не можете знать и того, что такое "нужная научная форма", ибо минимум информации, необходимой для такого понимания, равен одному биту. А бит, как известно, это умение отличать что-то одно (да-А) от чего-то другого (не-А). Именно в этом суть дихотомической логики, которой я занимаюсь. Надеюсь, вы позволите мне ею заниматься, или это тоже не-наука?
14.07.2020 11:38
Логика
Цитата
spirin
Именно в этом суть дихотомической логики, которой я занимаюсь. Надеюсь, вы позволите мне ею заниматься, или это тоже не-наука?
Пожалуйста, занимайтесь. Подумалось о математике, а к дихотомической логике нет претензий.
20.07.2020 21:09
.
Цитата
spirin
Цитата
r-aax
Из условия $a < b < c$ не следует $2a^3 < c^3$.

Теорема Ферма доказана Эйлером для трёх произвольных кубов, и следовательно, даже в случае равенства двух малых кубов друг другу уравнение Ферма не выполняется.
Тем более это справедливо для уменьшенного среднего куба.

Ещё раз.
Вы пользуетесь утверждением, что если $a < b < c$, то $2a^3 < c^3$.
Это утверждение неверно.
20.07.2020 23:11
Обоснуйте
Цитата
r-aax
Вы пользуетесь утверждением, что если $a < b < c$, то $2a^3 < c^3$.
Это утверждение неверно.
Не могли бы вы это обосновать?
22.07.2020 12:07
Вам что обосновать?
Цитата
spirin
Цитата
r-aax
Вы пользуетесь утверждением, что если $a < b < c$, то $2a^3 < c^3$.
Это утверждение неверно.
Не могли бы вы это обосновать?

Что пользуетесь этим утверждением?
Или что это утверждение ложно?
22.07.2020 12:22
Шутите?
Цитата
r-aax
Что пользуетесь этим утверждением?
Или что это утверждение ложно?
Пусть у нас два малых куба такие, что они либо равны друг другу, либо один из них больше.
Начинаем собирать три объёма из точек (или из кубиков, неважно) описанным способом, то есть одну точку (или кубик) в первый малый куб, вторую точку в большой куб. Продолжаем процесс до тех пор, пока первый малый куб не будет полностью сформирован. Затем переходим к сборке второго малого куба, продолжая собирать и большой.
Когда большой куб будет собран целиком, подводим итоги:

1. Первый малый объём представляет собой точный куб $a^3$;

2. Большой объём представляет собой точный куб $c^3$;

3. Второй малый объём не является точным кубом, так как это было доказано Эйлером.

Во втором объёме обязательно должны быть лишние точки, ибо если их не хватит для сборки второго малого куба a3, то условие равенства двух малых кубов друг другу не соблюдается. Следовательно, в левой части уравнения должны появиться лишние точки, что свидетельствует о превышении большого куба над двумя малыми кубами:

$a^3+a^3+$лишние точки$=c^3$
23.07.2020 00:24
.
8 < 9 < 10, но 2*8^3 > 10^3
можете собирать свои кубы как угодно..
23.07.2020 08:40
Шутите?
Цитата
r-aax
8 < 9 < 10, но $2×8^3>10^3$
можете собирать свои кубы как угодно..
Предложенные вами числа заведомо не удовлетворяют уравнению Ферма, поэтому ваш пример не имеет никакого отношения к доказательству.
23.07.2020 19:59
.
Цитата
spirin
Предложенные вами числа заведомо не удовлетворяют уравнению Ферма, поэтому ваш пример не имеет никакого отношения к доказательству.

Что такое заведомо не удовлетворяют? Дайте определение.
В тексте "доказательства" нигде не упоминается, что какие-то числа я имею право рассматривать, а какие-то нет. В нем рассматриваются произвольные тройки.
23.07.2020 20:16
.
Цитата
spirin
Возьмём три пустых куба $a^3, b^3, c^3$ такие, что $a < b < c$, и будем их чем-нибудь заполнять:

Вот читаем ещё раз. Кубы рассматриваются произвольные. Я хочу рассматривать 8^3, 9^3, 10^3.

Цитата
spirin
... ибо $2a^3 < c^3$ в силу принятого нами условия $a<b<c$.

И ещё раз закрепим первое неверное утверждение. Его ложность очевидна на рассматриваем мной примере.
23.07.2020 20:41
Шутите?
Цитата
r-aax
Вот читаем ещё раз. Кубы рассматриваются произвольные. Я хочу рассматривать 8^3, 9^3, 10^3.
Ферма утверждает, что не существует таких трёх кубов, которые удовлетворяют его уравнению.
Доказательство проводится методом от противного: мы допускаем, что такие кубы существуют и приходим к противоречию.
Если же вы возьмёте произвольные три куба, которые заведомо не удовлетворяют уравнению Ферма, что вы можете доказать? Что они действительно не удовлетворяют теореме Ферма? Зачем доказывать, когда это было ясно с самого начала?
Смешно.
24.07.2020 05:20
.
Вы в принципе понимаете, в чем состоит суть контрпримеров к доказательствам?

Вы приводите некий текст для произвольных троек, претендуете на доказательство. Это доказательство должно проходить для любого конкретно взятого примера (никаких ограничений в тексте не предусмотрено). Я вам привел пример, на котором доказательство развалилось, значит оно не верно.
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти