Возьмём три пустых куба
$a^3, b^3, c^3$ такие, что
$a < b < c$, и будем их чем-нибудь заполнять: кубиками, шариками, камешками, снарядами, учебниками, цифрами, причём из какого угодно материала, какого угодно размера и какой угодно конфигурации. Для полной уверенности в том, что по форме мы получили именно куб, необходимо выстроить наши предметы, будь они одинаковыми или неодинаковыми, в
структуру куба: по длине, ширине и высоте этих предметов должно быть одинаковое число. В этом и заключается математическое условие, необходимое для доказательства теоремы Ферма, в противном случае мы не получим
куб. Из девяти предметов кубическую форму не получить, ибо один из предметов окажется лишним.
Число обозначается
точкой на числовой оси, поэтому воспользуемся именно точками для заполнения трёх объёмов
$a^3, b^3, c^3$. Чтобы эти объёмы приняли форму кубов, точки по мере их заполнения должны расположиться в структуру
$x×x×x$.
Итак, начнём заполнять три куба, закладывая на каждом шаге ровно по одной точке в куб
$a^3$ и в куб
$c^3$. Когда малый куб окажется сформированным полностью — а сформируется он, разумеется, первым — продолжим закладывать точки тем же образом, строго по одной, но теперь уже в средний куб
$b^3$ вместо самого маленького, а вторую точку будем по-прежнему помещать в большой куб.
В тот момент, когда большой куб
$c^3$ окажется построенным полностью, остановим процесс и подведём окончательные итоги.
1. Самый маленький объём представляет собой точный куб
$a^3$.
2. Самый большой объём представляет собой точный куб
$c^3$.
3. Средний объём не является геометрически точным кубом.
По поводу первых двух пунктов сомнений нет, это верно по построению. Но откуда мы знаем, третий объём — не куб?
Данный факт был доказан Леонардом Эйлером ещё в 1770 году. Сформулировать его заключение можно так:
из трёх кубов в уравнении Ферма по крайней мере один не является кубом.
Несмотря на то, что промежуточный объём между
$a^3$ и
$c^3$ не является точным кубом, в нём достаточно точек для того, чтобы образовать из них точный куб по крайней мере не меньший, чем
$a^3$, ибо
$2a^3 < c^3$ в силу принятого нами условия
$a<b<c$.
Отсюда можно уверенно заключить, что большой куб
$c^3$ содержит в себе больше точек, чем их насчитывается в двух малых кубах:
$a^3$ + (
$b^3$ + лишние точки)
$= c^3$Теперь изменим порядок сборки, начиная процесс не с малого куба
$a^3$, а со среднего куба
$b^3$. По завершении заполнения большого куба
$c^3$ приходим к следующим итогам.
1. Средний объём представляет собой точный куб
$b^3$.
2. Самый большой объём представляет собой точный куб
$c^3$.
3. Самый маленький объём не является точным кубом.
Количества точек, уже существующих в самом маленьком объёме, не хватит на то, чтобы сложить из них следующий по размеру точный куб
$(a+1)^3$, но их непременно хватит на то, чтобы построить из них вполне законченный геометрический куб
$a^3$. Ведь по крайней мере восемь точек там уже имеется, так как наименьшее значение числа
$a$ равно трём:
$a + b = c + d$Число
$d$ в этом уравнении является наименьшим и чётным, а наименьшее чётное число — это двойка. Следовательно, наименьшее число
$a$ равняется трём. А этого уже достаточно, чтобы констатировать наличие точного куба
$a^3$ в левой части уравнении Ферма:
(
$a^3$ + лишние кубики)
$+ b^3 = c^3$Но раз большой куб всегда превышает два малых куба уже при
$n=3$, тем более теорема Ферма справедлива для более высоких показателей
$n>3$. Что и требовалось доказать в уме.
Для общего доказательства теоремы Ферма вполне достаточно доказательства для случая $n=3$.Оппоненты могут возразить:
— Остановите процесс сборки не на большом кубе, а на двух малых, и тогда лишние кубики у вас окажутся в правой части уравнения Ферма. Следовательно, большой куб может быть и меньше двух малых.
— Неужели объём большого куба может измениться, если заполнять его другим каким-нибудь способом? Кубы-то одни те же!
— А вы возьмите другие три куба и завершите сборку на двух малых кубах!
— Что значит «взять другие кубы»? Поменять буковки
$a, b, c$ на буковки
$k, l, m$?
Самая большая глупость — это делать одно и то же снова и снова в надежде на другой результат (А. Эйнштейн).Этому афоризму Эйнштейна можно противопоставить противоположное по содержанию высказывание:
Самая большая глупость — это заполнять одни те же объёмы разными способами снова и снова в надежде на другой результат.Видимо, Пьер Ферма неслучайно застолбил в своей теореме именно большой куб, а не два малых. Похоже, людям в XVII веке было уже известно, что получение целого из частей — путь индуктивный, запрещённый законами логики.
