О мощности множеств

Попробуем доказать, что множество всех действительных чисел счётно. Представим любое действительное число в виде бесконечного ряда цифр:
…а^n…а^3а^2а^1,b^1b^2b^3…b^n…, где все a^m и b^m – цифры от нуля до девяти в десятичной системе исчисления и 0 или 1 в двоичной. Присвоим каждому такому действительному числу номер (целое число) …b^na^n… b^3а^3b^2а^2b^1а^1. По построению очевидно, что существует однозначное соответствие между номерами и действительными числами. Таким образом доказано, что множество действительных чисел счётно. Существование же множеств с мощностью больше мощности счётного множества вызывает большие сомнения. Тем более, что все доказательства несчётности основаны на понятии актуальной бесконечности, существование которой никем не доказано.

Дано высказывание: Ɐ(nϵℕ)Ǝ(mϵℕ, m>n). Истинно оно или ложно? Квантор всеобщности Ɐ обычно читается: «для любого…», «для каждого…», «для всех…» или «каждый…», «любой…», «все…». Если читать квантор всеобщности: «для любого», то выражение истинно, так как число m можно образовать прибавлением любого целого положительного числа к n. Если читать квантор всеобщности: «для всех», то выражение ложно, так как число m тоже входит в понятие все. И дело здесь в неопределённости понятия «все». Говоря обо всех, мы делаем заключение о свойствах множества, а они могут отличаться от свойств каждого члена этого множества.
Этот пример, как и многие другие, свидетельствует о неприменимости понятия актуальной бесконечности в математике.



Редактировалось 1 раз(а). Последний 31.10.2020 14:17.

А где лужа?

Цитата
zklb (Дмитрий)

Цитата
borisgrinevich
А где лужа?

Вы в ней стоите.

Для непонятливых: я про ссылку.

Спасибо, но это слегка не то. Просьба критиковать способ доказательства.

Я так и думал. Но у бесконечного количества чисел не может быть конечных номеров. Номеров просто не хватит. Поэтому, возражение не принимается. Важно то, что все номера разные и не повторяются. Натуральный ряд чисел тоже бесконечен.

У меня нет. Я пронумеровал.

Корень из двух ничем не отличается от других действительных чисел и алгоритм нахождения номера тот же. Вместо отсутствующих цифр (десятков, сотен и т.д.) ставьте нули и всё.

Откуда Вы взяли тезис о конечности значащих цифр у натуральных чисел? Эдак и счётное множество придётся считать конечным. Это неверно.

Примерно так же, как и все.
Натуральные числа (от лат. naturalis «естественный») — числа, возникающие естественным образом при счёте (например, 1, 2, 3, 4, …). Последовательность всех натуральных чисел, расположенных в порядке возрастания, называется натуральным рядом.
Натуральное число — Википедия

При конечном числе шагов