О мощности множеств

Автор темы borisgrinevich 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеПравила и принципы форума «Высшая математика»28.10.2009 15:17
ОбъявлениеЗапущен новый раздел «Задачки и головоломки»29.08.2019 00:42
ОбъявлениеОткрыта свободная публикация вакансий для математиков26.09.2019 16:34
24.09.2020 17:04
О мощности множеств
Попробуем доказать, что множество всех действительных чисел счётно. Представим любое действительное число в виде бесконечного ряда цифр:
…а^n…а^3а^2а^1,b^1b^2b^3…b^n…, где все a^m и b^m – цифры от нуля до девяти в десятичной системе исчисления и 0 или 1 в двоичной. Присвоим каждому такому действительному числу номер (целое число) …b^na^n… b^3а^3b^2а^2b^1а^1. По построению очевидно, что существует однозначное соответствие между номерами и действительными числами. Таким образом доказано, что множество действительных чисел счётно. Существование же множеств с мощностью больше мощности счётного множества вызывает большие сомнения. Тем более, что все доказательства несчётности основаны на понятии актуальной бесконечности, существование которой никем не доказано.

Дано высказывание: Ɐ(nϵℕ)Ǝ(mϵℕ, m>n). Истинно оно или ложно? Квантор всеобщности Ɐ обычно читается: «для любого…», «для каждого…», «для всех…» или «каждый…», «любой…», «все…». Если читать квантор всеобщности: «для любого», то выражение истинно, так как число m можно образовать прибавлением любого целого положительного числа к n. Если читать квантор всеобщности: «для всех», то выражение ложно, так как число m тоже входит в понятие все. И дело здесь в неопределённости понятия «все». Говоря обо всех, мы делаем заключение о свойствах множества, а они могут отличаться от свойств каждого члена этого множества.
Этот пример, как и многие другие, свидетельствует о неприменимости понятия актуальной бесконечности в математике.



Редактировалось 1 раз(а). Последний 31.10.2020 14:17.
24.09.2020 18:53
хм
я писался в эти детские штаны еще лет 10 назад)
24.09.2020 20:20
О мощности множеств
24.09.2020 20:30
хм
Цитата
borisgrinevich
А где лужа?

Вы в ней стоите.
24.09.2020 20:38
О мощности множеств
Цитата
zklb (Дмитрий)
Цитата
borisgrinevich
А где лужа?

Вы в ней стоите.
Для непонятливых: я про ссылку.
24.09.2020 21:00
хм
Цитата
borisgrinevich
Цитата
zklb (Дмитрий)
Цитата
borisgrinevich
А где лужа?

Вы в ней стоите.
Для непонятливых: я про ссылку.

http://www.mathforum.ru/forum/read/1/18660/18660/#18660

Приятного вечера)



Редактировалось 1 раз(а). Последний 24.09.2020 21:01.
24.09.2020 21:39
О мощности множеств
Спасибо, но это слегка не то. Просьба критиковать способ доказательства.
24.09.2020 21:49
хм
Цитата
borisgrinevich
Спасибо, но это слегка не то. Просьба критиковать способ доказательства.

Очень просто - у любого номера (натурального числа) количество значащих цифр конечно. У многих действительных чисел (например, у корня квадратного из 2) число значащих цифр бесконечно. Стало быть номер по Вашему способу ему не присвоить. Я Ваш метод еще преподу по дискретке на втором курсе тоже показывал. Опережая события, скажу, что числа вида, например, ...6424 не являются натуральными.



Редактировалось 1 раз(а). Последний 24.09.2020 21:50.
24.09.2020 22:12
О мощности множеств
Я так и думал. Но у бесконечного количества чисел не может быть конечных номеров. Номеров просто не хватит. Поэтому, возражение не принимается. Важно то, что все номера разные и не повторяются. Натуральный ряд чисел тоже бесконечен.
24.09.2020 23:24
хм
Цитата
borisgrinevich
Я так и думал. Но у бесконечного количества чисел не может быть конечных номеров. Номеров просто не хватит.

Все правильно. Потому множества натуральных и действительных чисел не равномощны. В чем тут у Вас закавыка то?



Редактировалось 1 раз(а). Последний 24.09.2020 23:25.
24.09.2020 23:39
О мощности множеств
У меня нет. Я пронумеровал.smile
24.09.2020 23:40
хм
Цитата
borisgrinevich
У меня нет. Я пронумеровал.smile

Нет. Вам был дан пример.
25.09.2020 00:08
О мощности множеств
Корень из двух ничем не отличается от других действительных чисел и алгоритм нахождения номера тот же. Вместо отсутствующих цифр (десятков, сотен и т.д.) ставьте нули и всё.
25.09.2020 01:39
хм
Цитата
zklb (Дмитрий)
у любого номера (натурального числа) количество значащих цифр конечно. У многих действительных чисел (например, у корня квадратного из 2) число значащих цифр бесконечно.

еще раз перечитайте. можно даже два раза.
25.09.2020 07:03
О мощности множеств
Откуда Вы взяли тезис о конечности значащих цифр у натуральных чисел? Эдак и счётное множество придётся считать конечным. Это неверно.
25.09.2020 16:10
хм
Цитата
borisgrinevich
Откуда Вы взяли тезис о конечности значащих цифр у натуральных чисел? Эдак и счётное множество придётся считать конечным. Это неверно.

ну тут уже интересно будет узнать - как Вы для себя определяете понятие натурального числа.
25.09.2020 16:19
О мощности множеств
Примерно так же, как и все.
Натуральные числа (от лат. naturalis «естественный») — числа, возникающие естественным образом при счёте (например, 1, 2, 3, 4, …). Последовательность всех натуральных чисел, расположенных в порядке возрастания, называется натуральным рядом.
Натуральное число — Википедия
25.09.2020 19:41
хм
Цитата
borisgrinevich
Примерно так же, как и все.
Натуральные числа (от лат. naturalis «естественный») — числа, возникающие естественным образом при счёте (например, 1, 2, 3, 4, …). Последовательность всех натуральных чисел, расположенных в порядке возрастания, называется натуральным рядом.
Натуральное число — Википедия

Ну вот и славно. Обошлись без аксиом Пеано. Первое натуральное число - 1. Очевидно, что количество цифр в этом числе конечно. Прибавим к ней единицу, чтобы получить следующее натуральное число. Так как количество цифр в 1 конечно, то процесс сложения тоже конечен, а значит мы получим следующее натуральное число с конечным количеством цифр. Далее методом индукции: если мы к любому натуральному числу с конечным числом цифр прибавим 1, то в силу конечности количества цифр этого числа, процесс сложения так же будет конечен и даст конечное число цифр в итоговом следующем натуральном числе.
25.09.2020 20:13
О мощности множеств
При конечном числе шагов smile
26.09.2020 06:02
хм
Цитата
borisgrinevich
При конечном числе шагов smile

именно так.
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти