О мощности множеств

Автор темы borisgrinevich 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеПравила и принципы форума «Высшая математика»28.10.2009 15:17
ОбъявлениеЗапущен новый раздел «Задачки и головоломки»29.08.2019 00:42
ОбъявлениеОткрыта свободная публикация вакансий для математиков26.09.2019 16:34
26.09.2020 09:38
О мощности множеств
К рассматриваемому случаю это не относится, а так как натуральные числа это целые положительные числа и натуральный ряд бесконечен, то все номера действительных чисел принадлежат натуральному ряду, что и требовалось доказать. Можно провести и обратное действие - для каждого члена натурального ряда найти соответствующее ему действительное число. Привет Кантору.
26.09.2020 21:36
хм
Цитата
borisgrinevich
К рассматриваемому случаю это не относится
Весьма популярный у вашего брата аргумент) Только его тоже надо строго доказать)
Цитата
borisgrinevich
Можно провести и обратное действие - для каждого члена натурального ряда найти соответствующее ему действительное число. Привет Кантору.
По Вашей методе конечно можно. Только такое число как на грех будет всего лишь рациональным, а множество рациональных чисел, как известно, счетно.
27.09.2020 00:07
О мощности множеств
Тогда ещё раз. Натуральный ряд состоит из целых положительных чисел и содержит полный набор этих чисел. Натуральный ряд бесконечен. Любому действительному числу, как показано, можно поставить в соответствие число из натурального ряда.Множество чисел натурального ряда счётно. Вывод: множество действительных чисел счётно, кто бы ни пытался доказать обратное.
27.09.2020 01:48
хм
Цитата
borisgrinevich
Любому действительному числу, как показано, можно поставить в соответствие число из натурального ряда.
Неверно. Вам уже было сказано - почему.
27.09.2020 02:08
О мощности множеств
Натуральный ряд не бесконечен? Или Что-то другое?
27.09.2020 02:26
хм
Цитата
borisgrinevich
Натуральный ряд не бесконечен? Или Что-то другое?

Натуральный ряд бесконечен, но число значащих цифр в каждом натуральном числе конечно.
Множество действительных чисел тоже бесконечно, но число значащих цифр в некоторых действительных числах бесконечно.
27.09.2020 09:49
Нет
Цитата
borisgrinevich
Любому действительному числу, как показано, можно поставить в соответствие число из натурального ряда.Множество чисел натурального ряда счётно. Вывод: множество действительных чисел счётно, кто бы ни пытался доказать обратное.
Если, например, иррациональное число не может быть представлено конечным числом рациональных чисел, значит, иррациональные числа нельзя пересчитать. Не надо путать приближённую запись числа с самим числом.
Хаос в рассуждениях возникает, возможно, по причине использования одних и тех же значков почти для всех вещественных чисел.
27.09.2020 10:16
О мощности множеств
Наибольшего натурального числа не существует. Значит, существуют бесконечно большие натуральные числа. Что и требовалось.
27.09.2020 11:25
хм
Цитата
borisgrinevich
Наибольшего натурального числа не существует. Значит, существуют бесконечно большие натуральные числа. Что и требовалось.
Бесконечно больших натуральных чисел не существует. И Вам на пальцах было показано как и почему. Отнекиваться от этого фразами " это не имеет отношения к делу" бессмысленно.
Если даже искуственно ввести бесконечные натуральные числа, то согласно аксиоматике Пеано, из них можно составить последовательность, ну а там уже курите стандартный диагональный метод Кантора.
27.09.2020 11:31
О мощности множеств
Стандартный диагональный метод Кантора ничего не доказывает. Он просто гонит зайца дальше и дальше. Сколько бы мы ни искали диагональный элемент, мы никогда его не найдём в силу бесконечности десятичной дроби.
27.09.2020 12:23
хм
Цитата
borisgrinevich
Стандартный диагональный метод Кантора ничего не доказывает. Он просто гонит зайца дальше и дальше. Сколько бы мы ни искали диагональный элемент, мы никогда его не найдём в силу бесконечности десятичной дроби.

Ну значит для Вас и иррациональных чисел не существует и тогда говорить не о чем)
27.09.2020 12:28
О мощности множеств
Иррациональные числа есть, а вот актуальной бесконечности нет))
27.09.2020 13:06
хм
Цитата
borisgrinevich
Иррациональные числа есть, а вот актуальной бесконечности нет))

Ну по этому поводу читайте дискуссию по ранее данной Вам ссылке
27.09.2020 15:41
О мощности множеств
К сожалению, ничего нового для себя я в дискуссии не нашёл. Для того, чтобы был понятней предмет спора, приведу отрывок из статьи А.А.Зенкина: "В данной статье анализируются некоторые эпистемологические дефекты логики канторовского доказательства несчетности континуума с помощью диагонального метода Кантора (ДМК), основанного на концепции актуальной бесконечности (АБ). В частности, рассматриваются логические и психологические причины неприятия концепции АБ такими выдающимися философами, логиками и математиками, как Аристотель, Евклид, Лейбниц, Кант, Гаусс, Кронекер, Пуанкаре, Вейль, Борель, Брауэр, и многими другими.
В современной Аксиоматической Теории Множеств (АТМ), которая претендует на абсолютную строгость своих рассуждений, до сих пор отсутствует строгое, формальное определение базового понятия АБ, что делает беспредметными любые дискуссии о легитимности этого понятия." Критика этой статьи, если поискать, также имеется. Что-то по этому поводу Зенкин публиковал и в "ДАН"е Не вмешиваясь в споры Гильберта с Пуанкаре, хочу отметить, что использование термина "все" привело Кантора и к другим ляпам. Например, в уточнении леммы о вложенных отрезках. Кроме того АБ порождает множество парадоксов, в том числе, о множестве всех множеств. Кантор и сам признавал это.
27.09.2020 23:00
хм
Цитата
borisgrinevich
К сожалению, ничего нового для себя я в дискуссии не нашёл. Для того, чтобы был понятней предмет спора, приведу отрывок из статьи А.А.Зенкина: "В данной статье анализируются некоторые эпистемологические дефекты логики канторовского доказательства несчетности континуума с помощью диагонального метода Кантора (ДМК), основанного на концепции актуальной бесконечности (АБ). В частности, рассматриваются логические и психологические причины неприятия концепции АБ такими выдающимися философами, логиками и математиками, как Аристотель, Евклид, Лейбниц, Кант, Гаусс, Кронекер, Пуанкаре, Вейль, Борель, Брауэр, и многими другими.
В современной Аксиоматической Теории Множеств (АТМ), которая претендует на абсолютную строгость своих рассуждений, до сих пор отсутствует строгое, формальное определение базового понятия АБ, что делает беспредметными любые дискуссии о легитимности этого понятия." Критика этой статьи, если поискать, также имеется. Что-то по этому поводу Зенкин публиковал и в "ДАН"е Не вмешиваясь в споры Гильберта с Пуанкаре, хочу отметить, что использование термина "все" привело Кантора и к другим ляпам. Например, в уточнении леммы о вложенных отрезках. Кроме того АБ порождает множество парадоксов, в том числе, о множестве всех множеств. Кантор и сам признавал это.

ну это уже философия. а то что кантор устарел - так это ясно из той же дискуссии, где я узнал про аксиоматику ZFC.
06.10.2020 15:01
Топик-стартер несет пургу, но тут-то все верно
Цитата
zklb (Дмитрий)
Цитата
borisgrinevich
Любому действительному числу, как показано, можно поставить в соответствие число из натурального ряда.
Неверно. Вам уже было сказано - почему.
Дорогой zklb (Дмитрий), тут Вы увлеклись дикостью основного утверждения ТС о равномощности R и N.
Но в процитированном фрагменте все верно: любому действительному числу МОЖНО поставить в соответствие одно и только одно натуральное. Я ставлю так:
Каждому действительному числу я ставлю в соответствие число 1 - безусловно натуральное! Правда, при этом натуральному числу 1 соответствуют как минимум два действительных числа: это числа 0,2 и 37,12345....23242526..... .
PS. Я отобразил вещественные числа в одноэлементное множество, пусть ТС считает, что моя ошибка именно в конечности мнложества образов.
06.10.2020 18:35
хм
Цитата
museum
Цитата
zklb (Дмитрий)
Цитата
borisgrinevich
Любому действительному числу, как показано, можно поставить в соответствие число из натурального ряда.
Неверно. Вам уже было сказано - почему.
Дорогой zklb (Дмитрий), тут Вы увлеклись дикостью основного утверждения ТС о равномощности R и N.
Но в процитированном фрагменте все верно: любому действительному числу МОЖНО поставить в соответствие одно и только одно натуральное. Я ставлю так:
Каждому действительному числу я ставлю в соответствие число 1 - безусловно натуральное! Правда, при этом натуральному числу 1 соответствуют как минимум два действительных числа: это числа 0,2 и 37,12345....23242526..... .
PS. Я отобразил вещественные числа в одноэлементное множество, пусть ТС считает, что моя ошибка именно в конечности мнложества образов.

Ну в самом первом посте ТС писал об однозначном соответствии, а потом, видно, обленился)
12.10.2020 12:03
О мощности множеств
Конечно, ошибка в конечности множества образов. На эту тему можно ещё долго и без толку спорить, но моё основное утверждение даже не о равномощности R и N, что имеет место быть). Основное утверждение о неприменимости термина "все" к бесконечным множествам. Покажем это ещё раз на примере леммы о вложенных отрезках. Её формулировка: для любой последовательности вложенных отрезков существует точка с ϵ R, принадлежащая всем этим отрезкам. Спорить здесь не о чем. Кантор приписал: "Если длины отрезков стремятся к нулю: Lim(b^n –a^n) = 0 (n→ꚙ), то такая точка единственная". Заметим, что при уменьшении длины отрезков, число точек в каждом из них по тому же Кантору не уменьшается. Кроме того, предел последовательности не принадлежит последовательности, а также отрезок не может быть стянут в точку по определению отрезка. Из-за слова все возникает явная чушь, которой пичкают бедных студентов.
12.10.2020 13:49
хм
Цитата
borisgrinevich
Конечно, ошибка в конечности множества образов. На эту тему можно ещё долго и без толку спорить, но моё основное утверждение даже не о равномощности R и N, что имеет место быть). Основное утверждение о неприменимости термина "все" к бесконечным множествам. Покажем это ещё раз на примере леммы о вложенных отрезках. Её формулировка: для любой последовательности вложенных отрезков существует точка с ϵ R, принадлежащая всем этим отрезкам. Спорить здесь не о чем. Кантор приписал: "Если длины отрезков стремятся к нулю: Lim(b^n –a^n) = 0 (n→ꚙ), то такая точка единственная". Заметим, что при уменьшении длины отрезков, число точек в каждом из них по тому же Кантору не уменьшается. Кроме того, предел последовательности не принадлежит последовательности, а также отрезок не может быть стянут в точку по определению отрезка. Из-за слова все возникает явная чушь, которой пичкают бедных студентов.

чушь возникает из за ограниченности мышления, пытающегося бесконечное запихнуть в конечное. Кроме того, фраза "Кроме того, предел последовательности не принадлежит последовательности, а также отрезок не может быть стянут в точку по определению отрезка." является маслом масляным, применительно к данной лемме: разумеется, точка - не отрезок по определению и поэтому не является членом последовательности отрезков. Не понимаю - в чем у Вас затык? Пусть такая предельная точка не единственна, и есть еще одна такая точка, тогда получим по определению отрезок, задаваемый этими точками, вложенный во все предыдущие отрезки последовательности. Но так как эти точки различны, то данный отрезок имеет ненулевую длину и нарушает условие леммы.
12.10.2020 15:52
лемма Коши-Кантора
Цитата
zklb (Дмитрий)
Цитата
borisgrinevich
Не понимаю - в чем у Вас затык? /quote]

Никакого затыка. Формулировка хромает. Точка это не отрезок, а с отрезками единственность (и не единственность) не получается.
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти