О мощности множеств

Цитата
borisgrinevich
Любому действительному числу, как показано, можно поставить в соответствие число из натурального ряда.Множество чисел натурального ряда счётно. Вывод: множество действительных чисел счётно, кто бы ни пытался доказать обратное.

Цитата
borisgrinevich
Наибольшего натурального числа не существует. Значит, существуют бесконечно большие натуральные числа. Что и требовалось.

Цитата
borisgrinevich
Стандартный диагональный метод Кантора ничего не доказывает. Он просто гонит зайца дальше и дальше. Сколько бы мы ни искали диагональный элемент, мы никогда его не найдём в силу бесконечности десятичной дроби.

Цитата
borisgrinevich
Иррациональные числа есть, а вот актуальной бесконечности нет))

Цитата
borisgrinevich
К сожалению, ничего нового для себя я в дискуссии не нашёл. Для того, чтобы был понятней предмет спора, приведу отрывок из статьи А.А.Зенкина: "В данной статье анализируются некоторые эпистемологические дефекты логики канторовского доказательства несчетности континуума с помощью диагонального метода Кантора (ДМК), основанного на концепции актуальной бесконечности (АБ). В частности, рассматриваются логические и психологические причины неприятия концепции АБ такими выдающимися философами, логиками и математиками, как Аристотель, Евклид, Лейбниц, Кант, Гаусс, Кронекер, Пуанкаре, Вейль, Борель, Брауэр, и многими другими.
В современной Аксиоматической Теории Множеств (АТМ), которая претендует на абсолютную строгость своих рассуждений, до сих пор отсутствует строгое, формальное определение базового понятия АБ, что делает беспредметными любые дискуссии о легитимности этого понятия." Критика этой статьи, если поискать, также имеется. Что-то по этому поводу Зенкин публиковал и в "ДАН"е Не вмешиваясь в споры Гильберта с Пуанкаре, хочу отметить, что использование термина "все" привело Кантора и к другим ляпам. Например, в уточнении леммы о вложенных отрезках. Кроме того АБ порождает множество парадоксов, в том числе, о множестве всех множеств. Кантор и сам признавал это.

Цитата
museum

Цитата
zklb (Дмитрий)

Цитата
borisgrinevich
Любому действительному числу, как показано, можно поставить в соответствие число из натурального ряда.

Неверно. Вам уже было сказано - почему.

Дорогой zklb (Дмитрий), тут Вы увлеклись дикостью основного утверждения ТС о равномощности R и N.
Но в процитированном фрагменте все верно: любому действительному числу МОЖНО поставить в соответствие одно и только одно натуральное. Я ставлю так:
Каждому действительному числу я ставлю в соответствие число 1 - безусловно натуральное! Правда, при этом натуральному числу 1 соответствуют как минимум два действительных числа: это числа 0,2 и 37,12345....23242526..... .
PS. Я отобразил вещественные числа в одноэлементное множество, пусть ТС считает, что моя ошибка именно в конечности мнложества образов.

Цитата
borisgrinevich
Конечно, ошибка в конечности множества образов. На эту тему можно ещё долго и без толку спорить, но моё основное утверждение даже не о равномощности R и N, что имеет место быть). Основное утверждение о неприменимости термина "все" к бесконечным множествам. Покажем это ещё раз на примере леммы о вложенных отрезках. Её формулировка: для любой последовательности вложенных отрезков существует точка с ϵ R, принадлежащая всем этим отрезкам. Спорить здесь не о чем. Кантор приписал: "Если длины отрезков стремятся к нулю: Lim(b^n –a^n) = 0 (n→ꚙ), то такая точка единственная". Заметим, что при уменьшении длины отрезков, число точек в каждом из них по тому же Кантору не уменьшается. Кроме того, предел последовательности не принадлежит последовательности, а также отрезок не может быть стянут в точку по определению отрезка. Из-за слова все возникает явная чушь, которой пичкают бедных студентов.