О мощности множеств

Цитата
zklb (Дмитрий)
бесконечных натуральных чисел не бывает.

Не согласен.

Ради Бога. Пусть так.

Цитата
museum
Это не к ТС-у, а к zklb (Дмитрию):
Квазибесконечные числа - это то же, что нестандартные (в сымсле нестандартной модели)?

http://tapemark.narod.ru/chisla.html#:~:text=%C2%AB%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B7%D0%B8%D0%B1%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D1%87%D0%BD%D1%8B%D0%BC%20%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%BC%C2%BB%20(%D0%9A%D0%91%D0%A7),%D0%B4%D0%B5%D1%81%D1%8F%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%BE%D0%B9)%2C%20%D0%B8%D0%B4%D1%83%D1%89%D0%B0%D1%8F%20%D1%81%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B0%20%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B5%D0%B2%D0%BE.&text=%D0%AD%D1%82%D0%B8%20%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0%20%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D1%8B%20%C2%AB%D0%BA%D0%B2%D0%B0%D0%B7%D0%B8%D0%B1%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D1%87%D0%BD%D1%8B%D0%BC%D0%B8%C2%BB%2C,%D1%81%D0%B0%D0%BC%D0%BE%D0%BC%20%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%20%D0%BD%D0%B5%20%D1%8F%D0%B2%D0%BB%D1%8F%D1%8E%D1%82%D1%81%D1%8F%20%D1%82%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D1%8B%D0%BC%D0%B8.

Спасибо за совет! Кантора бить не буду. Душевнобольному можно и простить некоторые косяки. Обращать иноверцев в свою веру не всегда удаётся. Так что ловите булеаны и множьте сущности))

Лично мне слово "очевидно" не нравится.

Это в том случае, если верить диагональному методу Кантора. По-моему этот метод ничего не доказывает, если не считать, что процесс когда-то кончится. А он не кончается.

Собственно говоря, в этой теме я выступаю против булеанов, точнее против использования актуальной бесконечности, которая здесь заключается в использовании понятия "все" для бесконечных величин. Ранее (стр. 2) я показал к каким нелепостям это приводит в лемме о вложенных отрезках. Мне правда возразили доказательством из учебника: "Пусть такая предельная точка не единственна, и есть еще одна такая точка, тогда получим по определению отрезок, задаваемый этими точками, вложенный во все предыдущие отрезки последовательности. Но так как эти точки различны, то данный отрезок имеет ненулевую длину и нарушает условие леммы". Это безусловно так, но отсутствие двух точек не означает, что есть одна. Формулировка леммы страдает. Точно так же в красивом доказательстве Кантора о мощности множества подмножеств подразумевается, что такое множество существует для бесконечных величин. Для меня это сводит истинность доказательства к нулю. Особенно, когда задумываешься о множестве всех множеств))



Редактировалось 1 раз(а). Последний 28.10.2020 19:15.

Давайте разбираться с Вашим доказательством

Цитата
borisgrinevich
Попробуем доказать, что множество всех действительных чисел счётно. Представим любое действительное число в виде бесконечного ряда цифр:
…а^n…а^3а^2а^1,b^1b^2b^3…b^n…, где все a^m и b^m – цифры от нуля до девяти в десятичной системе исчисления и 0 или 1 в двоичной. Присвоим каждому такому действительному числу номер (целое число) …b^na^n… b^3а^3b^2а^2b^1а^1. По построению очевидно, что существует однозначное соответствие между номерами и действительными числами. Таким образом доказано, что множество действительных чисел счётно. Существование же множеств с мощностью больше мощности счётного множества вызывает большие сомнения. Тем более, что все доказательства несчётности основаны на понятии актуальной бесконечности, существование которой никем не доказано.

Не припомню в математике такого понятия как «актуальная бесконечность», ну да ладно, классические теоремы не трогаем, идем по существу. Во-первых, на вопрос об определении натуральных чисел Вы ответили так

Цитата
borisgrinevich
Примерно так же, как и все.
Натуральные числа (от лат. naturalis «естественный») — числа, возникающие естественным образом при счёте (например, 1, 2, 3, 4, …). Последовательность всех натуральных чисел, расположенных в порядке возрастания, называется натуральным рядом.
Натуральное число — Википедия

Это НЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ натуральных чисел, а их интуитивное понимание! Полагаю, Вам следовало дочитать процитированную Вами же статью до конца, а не ограничиться лишь шапкой, поскольку арифметическое определение идет там следом почти сразу после Вашей цитаты (аксиомы Пеано).
Во-вторых, о Ваших конструкциях номеров. Как я понимаю, построенная Вами модель «натуральных» чисел (номеров) представляет собой множество бесконечных последовательностей цифр, записанных справа налево в виде $...x_4x_3x_2x_1$. Под единицей у Вас понимается $...0001$, а порядок следования задается сложениями с единицей по обычным правилам с переносом разрядов влево (к примеру, за ...5762 сразу следует ...5763, а за ...6999 сразу следует ...7000 и т.д.). Здесь я, конечно, немного додумываю за Вас, поскольку явно у Вас нигде не было указано, что является единицей и как определена функция следования (если я понял не правильно, то напишите как нужно понимать).

Теперь по существу. В принципе, я ничего не имею против альтернативных (традиционным) представлений натуральных чисел. Даже в рамках аксиом Пеано эквивалентность всех моделей давно доказана, так что не имеет значения как представлять натуральные числа (конечными или бесконечными последовательностями цифр, слонами, стихами, мечтами и т.д.). Однако, особо обращаю Ваше внимание, независимо от способа представления для того чтобы можно было идентифицировать объект именно как множество натуральных чисел, должны быть одновременно выполнены 5 основных условий (аксиомы Пеано). В вашем случае из этих пяти условий выполняются лишь 4 (при оговорке, что мы запрещаем числа, у которых начиная с некоторой позиции влево все цифры девятки, иначе останется и вовсе 3). Нарушается аксиома индукции. Действительно, определим свойство: начиная с некоторой позиции (влево) все цифры «натурального» числа равны 0. Для единицы это свойство выполнено (1 = ...0001). Если $x = ...x_4x_3x_2x_1$ и для некоторого k выполнено $x_{k+1}= x_{k+2} =…= 0$, то для $y = x + 1$ (число, следующее за x) в соответствии с обычными правилами сложения справедливо $y_{k+2}= y_{k+3} =…= 0$. Отсюда, в силу аксиомы индукции, указанным свойством должны обладать все «натуральные» числа в Вашей модели. С другой стороны, как Вы сами указывали, числу 1/3 соответствует «натуральное» ...303030, которое этим свойством не обладает. Прямое нарушение аксиомы. Вы построили не множество натуральных чисел, а какое-то совершенно левое множество, счетность которого Вами НЕ ДОКАЗАНА (на самом деле даже опровергнута, но об этом не будем). Тот факт, что вы установили инъективное вложение неотрицательных вещественных чисел в это множество не доказывает счетности множества вещественных чисел.



Редактировалось 2 раз(а). Последний 29.10.2020 02:11.

Вы правильно поняли функцию следования. Если определять натуральные числа аксиомами Пеано, то, действительно, квазибесконечные числа не удовлетворяют условиям пятой аксиомы. Являются ли они членами натурального ряда. Рассмотрим две возможности.. Допустим актуальная бесконечность существует и натуральному ряду принадлежат ВСЕ положительные целые числа, в том числе бесконечные. Тогда множество этих чисел следует признать счётным (можно досчитать до любого). Альтернативная возможность - актуальной бесконечности не существует (нельзя говорить ВСЕ применительно к бесконечным величинам). В этом случае не существует доказательств несчётности действительных чисел. Как-то так.

Тогда вынужден напомнить суть понятия актуальная бесконечность. Вспомним наивное доказательство несчётности множества действительных чисел диагональным методом Кантора (ДМК). Ни на первом , ни на втором, ни на N-ом шаге диагональное число не получается. Оно получится только, если предположить, что при бесконечном числе шагов можно "пробежать" все элементы актуальной бесконечности. Здесь аналогичные рассуждения. Или мы предполагаем, что натуральный ряд можно пересчитать за бесконечное число шагов и соглашаемся с (ДМК) или говорим, что этого сделать нельзя и тогда по аналогии признаём, что Кантор смухлевал. Все другие доказательства неравномощности также основаны на использовании понятия актуальная бесконечность. Так что выбирайте.