Один тип раскраски пространств

Отобразим n-пространство в n-шар, а его несобственные точки в n-сферу, ограницивающую этот шар. Точки, лежащие за пределами сферы, назовем сверхграничной областью. Ее можно интерпретировать как точки бесконечномерного пространства из которого удалено наше n-пространство. Совокупность внутренней, несобственной и сверхграничной областей назовем сверхпространством.

Мы не можем раскрашивать сверхграничную область, положим, что она имеет один цвет из континуума возможных. Мы можем раскрашивать собственные точки рассматриваемого n- пространства. Несобственные точки будут менять цвет в зависимости от цвета собственных точек вблизи них.

Такое отображение n- пространства в n-сферу сохраняет топологические свойства n- пространства. Поэтому раскраска отображения будет эквивалентна раскраске самого пространства.



Редактировалось 3 раз(а). Последний 27.10.2020 16:09.

чтобы не было подобных глупых вопросов, область определяется как открытое связное множество. поэтому точка (0,0) не принадлежит ни одной раскрашиваемой области, пока не будет отдельным образом добавлена к одной из них.

Как же может быть связан данный тип раскраски отображений пространств с задачей Нелсона-Эрдеша-Хадвигера?

Представим себе раскраску круга(плоскости) такую, что внутри круга, раскрашенного в один цвет, раскрасили область в другой цвет, причем эта область не касается границ круга(несобственных точек плоскости) . Таким образом собственные точки плоскости раскрашены в 3 цвета(две области и граница между ними), , но лишь один из цветов граничит с несобственными точками плоскости(окружностью, ограничивающей круг). Сверхпространство при этом раскрашено в 5 цветов. Но плоскость при такой раскраске не может быть раскрашена согласно задаче НЭХ в 3 цвета, т.к. между цветом внутренней области и несобственными точками существует бесконечная монотонная область. Чтобы была возможность раскрасить нашу окружность(плоскость) равномерно в несколько цветов, все они должны выходить к ее границе- несобственным точкам. А это возможно только тогда, когда сверхпространство раскрашено минимум в 7 цветов, а сама плоскость с несобственными точками- в 6 цветов, а собственные точки плоскости в 3 цвета. Эта раскраска плоскости- "шахматная доска", например. Она возможна. Т.к. все 3 цвета этой раскраски выходят к несобственным точкам плоскости. Но она не удовлетворяет задаче НЭХ, хотя раскраска позволяет раскрасить плоскость равномерно. Какая же следующая раскраска, позволяющая раскрасить плоскость равномерно, т.е. так, чтобы к ее границам выходили все цвета? Рассмотрим круг (плоскость) разбитую на 3 сектора. Раскрасив их, мы получим 6 цветов, выходящих к границам плоскости и 1 центральную точку, т.е. плоскость, раскрашенную в 7 цветов. Мы знаем также, что плоскость можно раскрасить в 7 цветов согласно НЭХ. Но один цвет при нашей раскраске не выходит к границам плоскости, а следовательно в 7 цветов плоскость не может быть раскрашена равномерно, как шахматная доска, например, но мы знаем, что она раскрашивается равномерно в 7 цветов. Почему? Обратим внимание на то, что цвет центральной точки возникает при раскраске круга. Т.е. вывести этот цвет к границе круга- несобственным точкам плоскости и раскрасить круг равномерно возможно, но только в том случае, когда плоскость разбита на одинаковые области и каждая из них разбита на 6 цветных областей, которые пересекаются и порождают седьмую. Таким образом цвет центральной точки круга может быть выведен на окружность несобственных точек. Чтобы возникла точка в результате пересечения цветных областей, необходимо, чтобы в ней сошлось минимум 6 цветов. Т.е. раскраски, удовлетворяющей условиям задачи Н-Э-Х менее чем в 7 цветов не существует. Или другими словами, между раскраской "шахматная доска" и "раскраской в 7 цветов" равномерных раскрасок плоскости не существует или они эквивалентны одной из этих двух в условиях действия данной аксиомы. Данные рассуждения доказывают, что $\hi(R^2)=7$ , несомненно, что на их основе можно построить и строгое доказательство этого равенства.

Краткий план доказательства:
1. Показываем, что чтобы плоскость могла быть раскрашена равномерно, необходимо, чтобы все цвета раскраски выходили к ее несобственным точкам(границе)
2. Раскраски в которых все цвета выходят к границе плоскости.
3. Показываем, что цвета могут порождаться в результате пересечения и тем самым выводиться из центра плоскости к ее границам.
4. Показываем, что между "шахматной доской" и семицветной плоскостью нет равномерных раскрасок плоскости ( раскрасок у которых все цвета выводятся к границе плоскости)



Редактировалось 3 раз(а). Последний 30.10.2020 22:15.

К чему излишние эмоции, когда у Вас осталась нерешенной задача о симметричной раскраске круга, разбитого на 3 равных сектора. Лучше блесните эрудицией и расскажите во сколько минимально цветов можно раскрасить его области и точки, чтобы максимально сохранить симметрию в распределении цветов внутри круга? Т.е. симметрию его геометрии максимально совместить с симметрией раскраски?

Но понятное дело, что Вы начнете отнекиваться, потому, что такой задачи в учебниках нет и поэтому Вы "не понимаете" даже ее условия. Всегда проще сказать, что автор задачи идиот, а его писанина- графомания, да травить байки о том, как Вы, пребывая в полном уме, боретесь здесь с психами.

А Вы хотя бы ради интереса попытайтесь вникнуть в задачу и решить ее. Центральная точка круга, разбитого на 3 равных сектора, раскрашенных в разные цвета, может оказаться точкой входа в новую теорию раскрасок. Так что прежде чем соблюсти свой ритуал и поддавшись привычке перейти к оскорблениям, подумайте хорошо над этим.

Всего доброго.



Редактировалось 1 раз(а). Последний 31.10.2020 03:00.

Всего доброго и будьте здоровы.

Ничто не мешает нам присвоить цвет точке, ровно также как и области пространства. Если мы раскрашиваем область пространства, то мы раскрашиваем континуум его точек.

Цитата
brukvalub
К обсуждению судьбы зеленых синусов подключился второй идиот, так что идиоты займут друг друга мудрой беседой!

Вы заблуждаетесь, Вы здесь первый и единственный...., кто упомянул зеленые синусы.

Раскрасить 3 равных сектора в 3 различных цвета, пусть для определенности это будут цвета формата RGB, т.е. Red, Green, Blue. Мы раскрасили (или должны раскрасить ) зти равные 3 сектора, какого цвета станет после раскраски центральная точка круга? Вот я о том и говорю, что она станет не R, не G и не B, а станет RGB или четвертого цвета, иначе симметрия раскраски нарушается. Симметрия - важная вещь, поэтому ее надо сохранить, тогда придется как-то обосновать, что точка станет четвертого цвета, но обоснований этому нет, тогда просто вводим это аксиоматически. Здесь действительно аналогия с физикой, но не можем же мы в качестве обоснования математики привлекать физику. Поэтому попробуем руководствоваться соображениями сохранения симметрии и аксиомы будем строить в угоду сохранению симметрии. Так вот и получается, что раскрасить 3 равных сектора окружности в 3 цвета не получается, а можно только в 7 цветов. А 4 равных части шара - в 15. и.т..д., Мерсенн и биномиальные коэффициенты налицо. Цветные области можно раздувать, разрывать и их куски менять местами. Можно показать, что минимальное количество цветов раскраскипри котором плоскость можно сделать равномерно окрашенной - 1,3 или 7 цветов. между 3 и 7 нет равномерных раскрасок, следовательно раскраска плоскости в 7 цветов - минимальная равномерная раскраска, удовлетворяющая условию задачи НЭХ. В меньшее количество цветов имеет смысл искать только неравномерные раскраски, но в любой из них будут возникать области в которых концентрация какого-то цвета больше, чем других цветов.