14.08.2007 03:50 Дата регистрации:
20 лет назад Посты: 15 | Как строить группу автомоморфизмов к данной группе? Нужен пример построения группы автоморфизмов, например, к аддитивной группе целых чисел Z, т.е. Aut(Z). Из книжки знаю, что Aut(Z) изоморфна мультипликативной группе целых чисел, группе из кольца вычетов по модулю 2, но как ее строить не пойму.
|
14.08.2007 22:39 Дата регистрации:
20 лет назад Посты: 155 | просто это простой вопрос, на уровне определений ключевое соображение - куда при автоморфизме может перейти единица?
|
15.08.2007 05:29 Дата регистрации:
20 лет назад Посты: 15 | Не понятно Например, берем аддитивную группу Z. Берем автоморфизм f1, удваивающий каждый элемент x, т.е. переводящий х в 2x. Ноль (т.е. единица) перейдет в ноль. Т.о. f1 - это один элемент группы автоморфизмов группы Z. Меняя коэффициент в f1, придумаем бесконечно много таких автоморфизмов. Всех их можно записать одной формулой f_n(x) = n*x. Но они образуют лишь подгруппу группы автоморфизмов. Каким же будет описание ВСЕЙ группы этих автоморфизмов?
|
16.08.2007 03:01 Дата регистрации:
20 лет назад Посты: 155 | повторите определения автоморфизм - это гомоморфизм, имеющий обратный для Z их только два: тождественное отображение (x->x) и смена знака (x->-x)
|
16.08.2007 07:56 Дата регистрации:
20 лет назад Посты: 15 | Да, я ошибся. Но вопрос остался... Да, я был не прав. Отображение f(x) = 2*х - не изоморфизм, а гомоморфизм, т.к. его образ (2Z) не совпадает с прообразом Z. Спасибо. Все же основной вопрос остался. Есть ли алгоритм построения групы автоморфизмов к любой группе или каждый раз нужно изучать вопрос отдельно?
|
17.08.2007 11:22 Дата регистрации:
20 лет назад Посты: 1 572 | Необходимое условие. Очевидно, что при автоморфизме система порождающих должна отображаться в систему порождающих. Вот с этого и надо начинать. Дальше всё индивидуально - вообще говоря, далеко не всякое отображение системы порождающих в систему порождающих может быть продолжено до автоморфизма. _____________________________ Правила русского языка категорически против решения пределов, интегралов, рядов, матриц, определителей, функций, .....
|
17.08.2007 21:47 Дата регистрации:
20 лет назад Посты: 155 | сложно в общем случае, наверное, очень сложно попробуйте начать с конечных абелевых групп. уже для Z_n всё далеко не тривиально
|
19.08.2007 11:21 Дата регистрации:
20 лет назад Посты: 398 | Aut(Z_n) Цитата
jura05 писал:
уже для Z_n всё далеко не тривиально
Кажется, Aut(Z_n) найти нетрудно. 1. Эндоморфизм f группы Z_n есть автоморфизм <=> f(1) in Z_n*. 2. f(g(1)) = f(1) g(1). Отсюда Aut(Z_n) изоморфна Z_n*. Здесь через Z_n* обозначена группа обратимых элементов кольца Z_n.
|
20.08.2007 22:19 Дата регистрации:
20 лет назад Посты: 155 | да, но по хорошему, нужно ещё выразить Z_n* через Z_k
|
21.08.2007 11:45 Дата регистрации:
20 лет назад Посты: 1 572 | А есть ли описание? Вы имеете в виду описать мультипликативную группу Z_n* с помощью аддитивных групп Z_k, то есть с помощью конечных циклических? Группа Z_n*, как и положено конечной абелевой группе раскладывается в прямое произведение конечных циклических. Она будет циклической только в следующих случаях: n=2, 4, p^k, 2p^k, где p - нечётное простое. Есть ли описание разложения в произведение циклических для произвольного n, я не знаю. _____________________________ Правила русского языка категорически против решения пределов, интегралов, рядов, матриц, определителей, функций, .....
|
22.08.2007 16:12 Дата регистрации:
20 лет назад Посты: 155 | разложение n на множители надо разложить n=p1^{k1}p2^{k2}...ps^{ks}, где pk простые если a и b взаимно просты, то Z_{ab}*=Z_a*+Z_b* так что всё сводится к примарным Z_{p^k}*, p>2, циклическая; при p=2, k>2 это сумма Z_2 и Z_{2^{k-2}}
|
23.08.2007 12:52 Дата регистрации:
20 лет назад Посты: 1 572 | Глубоко не задумываясь, так ведь и считал, а потом что-то заглючил, засомневавшись в разложимости Z_mn*=Z_m*+Z_n* при (m,n)=1. Чисто формально это ведь сильнее мультипликативности функции Эйлера. _____________________________ Правила русского языка категорически против решения пределов, интегралов, рядов, матриц, определителей, функций, .....
|
