Решение сложной задачи с 3D интегралами

Автор темы equivocada 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеПреподаватель мехмата МГУ удостоен международной премии по математике Presburger Award28.07.2020 01:04
ОбъявлениеSenior lecturer in Mathematics Linkoping (Швеция)04.09.2021 23:16
ОбъявлениеPostdoc: Stochastics and algorithmics behind network problems (Netherlands)08.10.2021 08:36
25.11.2020 01:03
Решение сложной задачи с 3D интегралами
Задача следующая:

Дано: A = {(x, y, z) ∈ R^3 | |x| ≤ 1, |y| ≤ 2, |z| ≤ 3, x^2 + y^2 ≥ 1/4}

Нужно сделать эскиз А и рассчитать следующий интеграл:

$ \int\int\int_A x^{2} + y^{2} \,d(x,y,z)$



Редактировалось 2 раз(а). Последний 25.11.2020 01:05.
26.11.2020 06:35
Решение в Maple
Задача оказалась совсем не сложной. В силу симметрии область интегрирования можно взять в первом октанте. Вот код для решения в Maple (использованы цилиндрические координаты):

8*int(r^3, [z=0..3,r=1/2..piecewise(phi>=0 and phi<=arctan(2),1/cos(phi),phi>=arctan(2) and phi<=Pi/2,2/sin(phi)),phi=0..Pi/2]);

Результат: 80-3*Pi*(1/16)

Эскиз сделаете сами. Это просто прямоугольный параллелепипед, из которого вырезан цилиндр радиуса 1/2 .



Редактировалось 1 раз(а). Последний 26.11.2020 07:11.
27.11.2020 21:37
Не понял, что написано у уважаемого kitonumа
Интеграл является разностью двух интегралов: по параллелепипеду $|x| ≤ 1, |y| ≤ 2, |z| ≤ 3$
и по цилиндру: $|z| ≤ 3, x^2 + y^2 ≤ 1/4$.
Благодаря симметрии, вычисляем оба интеграла в первом октанте, т.е.
$I_1=\int\int\int_{A_1}(x^2 + y^2)\,dx\,dy\,dz$, где $A_1$ - параллелепипед $0≤ x ≤ 1,\, 0≤ y ≤ 2,\, 0≤ z ≤ 3$
и второй интеграл $I_2=\int\int\int_{A_2}(x^2 + y^2)\,dx\,dy\,dz$, где $A_2$ -- четверть цилиндра: $0≤z ≤ 3,\,0≤ x,\, 0≤ y,\, x^2 + y^2 ≤ 1/4$.
Первый интеграл сразу приводим к повторному, второй к виду $I_1=\int\int_{B}(x^2 + y^2)\,dx\,dy\,\int_0^3dz$, где область $B$ - четверть круга. В двойном интеграле переходим к полярным координатам.
После вычислений в первом октанте умножаем результат на 8.
28.11.2020 07:58
Лучший способ для ручного решения
Уважаемый museum! Конечно Ваш метод существенно проще для данного примера. Если решать по Вашей схеме на компьютере в Maple, то и код будет заметно короче и понятнее:

8*(int(x^2+y^2, [z=0..3,y=0..2,x=0..1]) - int(r^3, [z=0..3,r=0..1/2,phi=0..Pi/2]));

Разумеется ответ получаем тот же. В моём предыдущем решении этот интеграл записан в виде одного повторного интеграла по соответствующей области. В Maple встроенная функция piecewise позволяет определять функции, заданные разными формулами на разных участках области определения. В обычной записи таких функций используется фигурная скобка.



Редактировалось 1 раз(а). Последний 28.11.2020 12:32.
28.11.2020 14:14
Я нисколько не сомневался
Цитата
kitonum
Уважаемый museum! Конечно Ваш метод существенно проще для данного примера. Если решать по Вашей схеме на компьютере в Maple, то и код будет заметно короче и понятнее:

8*(int(x^2+y^2, [z=0..3,y=0..2,x=0..1]) - int(r^3, [z=0..3,r=0..1/2,phi=0..Pi/2]));

Разумеется ответ получаем тот же. В моём предыдущем решении этот интеграл записан в виде одного повторного интеграла по соответствующей области. В Maple встроенная функция piecewise позволяет определять функции, заданные разными формулами на разных участках области определения. В обычной записи таких функций используется фигурная скобка.
Я нисколько не сомневался в том, что речь идёт о машинном счёте. Сам я систематически этим не занимаюсь, а в годы помоложе я более всего работал на совсем других машинах. Но я думал, что столь простую задачку могли дать именно для ручного счёта. Написал на всякий случай. Но за пояснения спасибо.
28.11.2020 15:09
Спасибо kitonum и museum
Уважаемые kitonum и museum!

Большое спасибо за ваши ответы.

Для решения задачи и в правду не разрешаются никакие вспомогательные. При решении в ручную, также, нет необходимости рассчитывать 1/8 от фигуры, можно сразу же вставлять границы в интеграл, результат один :)
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти