Задача по топологии (связность топологических пространств)

Автор темы bystrikov (Bystrikov Alexey) 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеРаботодателям и кадровым агентствам: Размещение вакансий26.03.2008 03:07
ОбъявлениеСтуденты и преподаватели мехмата МГУ могут бесплатно получать лицензию на Wolfram Mathematica25.11.2020 00:55
ОбъявлениеИсследовательские гранты фонда «БАЗИС» 202118.02.2021 17:56
04.12.2020 15:30
Задача по топологии (связность топологических пространств)
Пусть X, Y, S - связные пространства, $f: X\to S$, и $g: Y\to S$ - непрерывные сюръективные отображения. Верно ли, что множество $Z = \{f(x) = g(y)\}\subset X\times Y$ - связно?
04.12.2020 21:07
хм
-



Редактировалось 1 раз(а). Последний 04.12.2020 21:08.
05.12.2020 10:12
Нет
Контрпример: X = Y = R, S = [-1, 1], f = sin, g = cos
05.12.2020 17:24
Категорическое нет даже при X=Y=S и функции - гомеоморфизмы
06.12.2020 23:28
контрпримеры не годятся
museum, Ваш контрпример не годится, так как кривая $f_1(x)=f_2(y)$ (т.е. $y=x^3$) связна.
kitonum, Ваш контрпример не годится, так как кривая $\sin x = \cos y$ тоже связна



Редактировалось 2 раз(а). Последний 06.12.2020 23:35.
08.12.2020 11:30
Контрпример найден. Новая формулировка
.Я нашёл контрпример, когда попытался применить утверждение к целым голоморфным функциям. Такие функции, если отличны от констант, сюръективно отображают множество комплексных чисел $\mathbb{C}$ на $\mathbb{C}$ либо на $\mathbb{C}$ без точки (не ограничивая общности - без нуля). В последнем случае функция является экспонентой целой голоморфной функции.

Если рассматривать функции вида $e^{2\pi i f(z)}$ и $e^{2\pi i g(w)}$, то множество $\{e^{2\pi i f(z)} = e^{2\pi i g(w)}\}$ - это множество $\{(z,w)\in\mathbb{C}^2: f(z)-g(w)\in \mathbb{Z}\} $, которое несвязно.

После получения такого контрпримера оказалось, что голоморфность на самом деле не нужна. Можно рассматривать вещественные функции $f(x),\,g(y)$ и на их основе строить отображения в окружность $e^{2\pi i f(x)}$ и $e^{2\pi i g(y)}$. Множество $\{e^{2\pi i f(x)} = e^{2\pi i g(y)}\} = \{ f(x)-g(y)\in \mathbb{Z}\} $, будет несвязным.

Анализируя эти контрпримеры, я пришёл к выводу, что, исходную гипотезу можно спасти, если немного модифицировать. Новая формулировка теперь такова:

Пусть X, Y, S - линейно связные пространства, причём S - односвязно, и f:X→S, и g:Y→S - непрерывные сюръективные отображения. Верно ли, что множество {f(x)=g(y)}⊂X×Y - связно (линейно связно)?



Редактировалось 2 раз(а). Последний 08.12.2020 11:44.
10.12.2020 03:25
О, сколько в этом печали!
Вы сами-то поняли, что означает Ваша запись:
{f(x)=g(y)}⊂X×Y ?
Множество, содержащее один элемент, а именно запись f(x)=g(y), является подмножеством X×Y, т.е. эта вот последовательность девяти символов f(x)=g(y) является парой элементов взятых из множества Х и множества Y.
Вы не могли бы объяснить, что Вы хотели написать?
10.12.2020 14:27
Обозначения
museum, поясняю обозначения. В фигурных скобках - не просто запись f(x)=g(y), это запись двуместного предиката, первой переменной которого является x, обозначающий точки пространства X, второй переменной - является y, и она обозначает точки пространства Y. Также в него входят функциональные символы f и g, смысл которых задан в условии задачи. Само множество, так записанное, - это подмножество в X x Y, на котором предикат принимает значение "ИСТИНА".
Обозначение придумано не мной, и его часто употребляют в книгах по действительному, функциональному анализу и теории вероятностей.
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти