Задача по топологии (связность топологических пространств)

-



Редактировалось 1 раз(а). Последний 04.12.2020 21:08.

.Я нашёл контрпример, когда попытался применить утверждение к целым голоморфным функциям. Такие функции, если отличны от констант, сюръективно отображают множество комплексных чисел $\mathbb{C}$ на $\mathbb{C}$ либо на $\mathbb{C}$ без точки (не ограничивая общности - без нуля). В последнем случае функция является экспонентой целой голоморфной функции.

Если рассматривать функции вида $e^{2\pi i f(z)}$ и $e^{2\pi i g(w)}$, то множество $\{e^{2\pi i f(z)} = e^{2\pi i g(w)}\}$ - это множество $\{(z,w)\in\mathbb{C}^2: f(z)-g(w)\in \mathbb{Z}\} $, которое несвязно.

После получения такого контрпримера оказалось, что голоморфность на самом деле не нужна. Можно рассматривать вещественные функции $f(x),\,g(y)$ и на их основе строить отображения в окружность $e^{2\pi i f(x)}$ и $e^{2\pi i g(y)}$. Множество $\{e^{2\pi i f(x)} = e^{2\pi i g(y)}\} = \{ f(x)-g(y)\in \mathbb{Z}\} $, будет несвязным.

Анализируя эти контрпримеры, я пришёл к выводу, что, исходную гипотезу можно спасти, если немного модифицировать. Новая формулировка теперь такова:

Пусть X, Y, S - линейно связные пространства, причём S - односвязно, и f:X→S, и g:Y→S - непрерывные сюръективные отображения. Верно ли, что множество {f(x)=g(y)}⊂X×Y - связно (линейно связно)?



Редактировалось 2 раз(а). Последний 08.12.2020 11:44.

museum, поясняю обозначения. В фигурных скобках - не просто запись f(x)=g(y), это запись двуместного предиката, первой переменной которого является x, обозначающий точки пространства X, второй переменной - является y, и она обозначает точки пространства Y. Также в него входят функциональные символы f и g, смысл которых задан в условии задачи. Само множество, так записанное, - это подмножество в X x Y, на котором предикат принимает значение "ИСТИНА".
Обозначение придумано не мной, и его часто употребляют в книгах по действительному, функциональному анализу и теории вероятностей.