Доказать неприводимость многочлена над Q

$f(x) = (x^p-1)/(x-1)$ приводим тогда и только тогда, когда приводим многочлен $f(x+1) = ((x+1)^p-1)/x$.
Этот многочлен нужно рассмотреть по модулю p. $f(x+1) = x^{p-1} $ mod p, который по модулю p раскладывается в произведение степенных многочленов более низкой степени. Это означает, что если f(x+1) = g(x)h(x), и deg g = n, deg h = p-1-n, то многочлен $g(x) = x^n $ mod p, а $h(x) = x^{p-1-n}$ mod p. В частности, их свободные члены должны быть кратны p. Но тогда свободный член f(x+1) должен делиться на $p^2$, что не так. Это доказывает неприводимость f(x+1) (и f(x) заодно).



Редактировалось 3 раз(а). Последний 22.12.2020 09:57.

Это то же самое решение, только критерий Эйзенштейна я доказал непосредственно в тексте