Доказать неприводимость многочлена над Q

Автор темы molotov 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеИщем преподавателя для углубленного обучения статистическим методам29.05.2020 13:22
ОбъявлениеМатематик-алгоритмист (Vehicle Routing Problem) – удаленная работа03.06.2020 17:58
ОбъявлениеTinkoff Business Analyst / Product Owner19.02.2021 19:06
22.12.2020 06:58
Доказать неприводимость многочлена над Q
Приветствую! Доказать неприводимость многочлена над Q:

x^(p-1) + x^(p-2) + ... + x + 1 , p - простое число
22.12.2020 09:47
Это известная задача
$f(x) = (x^p-1)/(x-1)$ приводим тогда и только тогда, когда приводим многочлен $f(x+1) = ((x+1)^p-1)/x$.
Этот многочлен нужно рассмотреть по модулю p. $f(x+1) = x^{p-1} $ mod p, который по модулю p раскладывается в произведение степенных многочленов более низкой степени. Это означает, что если f(x+1) = g(x)h(x), и deg g = n, deg h = p-1-n, то многочлен $g(x) = x^n $ mod p, а $h(x) = x^{p-1-n}$ mod p. В частности, их свободные члены должны быть кратны p. Но тогда свободный член f(x+1) должен делиться на $p^2$, что не так. Это доказывает неприводимость f(x+1) (и f(x) заодно).



Редактировалось 3 раз(а). Последний 22.12.2020 09:57.
22.12.2020 12:37
Решение
Да, спасибо! Ваше решение тоже верно, но я уже додумался, как провести доказательство через биномиальные коэф-ты и признак Эйзенштейна соответственно.
22.12.2020 15:05
Хм
Это то же самое решение, только критерий Эйзенштейна я доказал непосредственно в тексте
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти