ОДУ 2

Автор темы kot-uchonyj 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеОткрыта свободная публикация вакансий для математиков26.09.2019 16:34
ОбъявлениеПреподаватель мехмата МГУ удостоен международной премии по математике Presburger Award28.07.2020 01:04
ОбъявлениеАктуарий в PPF Life Insurance (Junior)25.03.2021 21:35
27.12.2020 00:17
ОДУ 2
Здравствуйте, уважаемые участники форума!
Я новичок здесь, поэтому заранее прошу прощения за возможные ошибки в работе, в частности, при наборе формул.
Мой вопрос ниже.

Имеется дифференциальное уравнение второго порядка
$y''+\frac{1}{x}y'+2y\log y=0$.
Будем считать, что функция
$\varphi(y)=2y\log y$
продолжена нечётным образом. При этом, конечно,
$\varphi(0)=0$.
Коэффициент двойка при желании упаковывается в независимую переменную и, таким образом, не является существенным.
Кроме трёх очевидных постоянных решений
$y=0, \,y=1, \,y=-1$
известно также решение в виде гауссиана и противоположное ему по знаку:
$y=\pm e^{1-\frac{x^2}{2}$.

upd: Sorry. Только сейчас заметил, что нет значка дифференцирования при первой производной. Виноват.


1) Существует ли ещё хотя бы одно (кроме упомянутого выше) нетривиальное решение, стремящееся к нулю? Есть предположение (основанное только на компьютерном счёте по методу RK-IV), что да. Доказать не удаётся. Тем более не удаётся доказать, что таковых счётно много, - а хотелось бы.

2) Нельзя ли найти ещё какие-то решения, кроме упомянутых, записанные в более или менее обозримой форме?

Спасибо за любые комментарии.



Редактировалось 2 раз(а). Последний 27.12.2020 02:29.
28.12.2020 12:24
хм
делайте элементарную замену $y=e^z$ и избавляетесь от логарифма. полученное уравнение потом прокручиваете в том же вольфраме альфа. решение получается не ахти, но с конечной записью.
28.12.2020 14:49
ОДУ 2
Цитата
zklb (Дмитрий)
делайте элементарную замену $y=e^z$ и избавляетесь от логарифма. полученное уравнение потом прокручиваете в том же вольфраме альфа. решение получается не ахти, но с конечной записью.

Спасибо, но:
0. Такая замена предпринималась. Так как наибольший интерес к решениям, пересекающим ось абсцисс, она сразу выбрасывает нас из вещественной области. Трудно сказать, стоит ли это того, тем более, что даже стремлению решения к нулю справа будет соответствовать стремление заменяющей переменной к $-\infty.$
1. WA никакого внятного ответа мне не показывает. Уравнение после замены, на всякий случай:
$z''+z'^2+\frac{1}{x}z'+2z=0$
- имеет контрольное решение
$z=1-\frac{x^2}{2}$. Так и должно быть.
2. Выполнялись также другие замены, в частности,
$=e^{1-\frac{x^2}{2}}w.$
Здесь тоже получается мало информации.
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти