Здравствуйте, уважаемые участники форума!
Я новичок здесь, поэтому заранее прошу прощения за возможные ошибки в работе, в частности, при наборе формул.
Мой вопрос ниже.
Имеется дифференциальное уравнение второго порядка
$y''+\frac{1}{x}y'+2y\log y=0$.
Будем считать, что функция
$\varphi(y)=2y\log y$продолжена нечётным образом. При этом, конечно,
$\varphi(0)=0$.
Коэффициент двойка при желании упаковывается в независимую переменную и, таким образом, не является существенным.
Кроме трёх очевидных постоянных решений
$y=0, \,y=1, \,y=-1$известно также решение в виде гауссиана и противоположное ему по знаку:
$y=\pm e^{1-\frac{x^2}{2}$.
upd: Sorry. Только сейчас заметил, что нет значка дифференцирования при первой производной. Виноват.
1) Существует ли ещё хотя бы одно (кроме упомянутого выше) нетривиальное решение, стремящееся к нулю? Есть предположение (основанное только на компьютерном счёте по методу RK-IV), что да. Доказать не удаётся. Тем более не удаётся доказать, что таковых счётно много, - а хотелось бы.
2) Нельзя ли найти ещё какие-то решения, кроме упомянутых, записанные в более или менее обозримой форме?
Спасибо за любые комментарии.
Редактировалось 2 раз(а). Последний 27.12.2020 02:29.
