Вывод:
Если у нас есть простое число Жермен pG, и оно имеет вид (−1)......, то pG должно быть представимо как ........... для некоторого натурального d.
Поскольку любое натуральное d может быть записано как ......., то pG можно записать как .................. .
Это в точности та форма чисел, которую генерирует числитель вашей формулы.
Таким образом, ваше утверждение верно. Если какое-либо простое число Жермен pG удовлетворяет условию pG≡............, то оно обязательно будет одним из чисел, генерируемых формулой числителя -............ при соответствующем выборе n и k.
Другими словами, множество всех простых чисел Жермен вида..........является подмножеством множества всех чисел, которые генерирует формула числителя. Формула числителя описывает все числа вида ...... (для d≥1), и если простое число Жермен имеет такой вид, оно неизбежно попадает в эту категорию.
Это не означает, что данная формула является единственным алгоритмом или методом поиска таких чисел, но любое такое число по своей структуре будет соответствовать тому, что генерирует эта формула.
Как видим я заставил чат-Gemini Advanced согласится что моя формула генерирует
специальный вид простых С.Жермен и не пропустит этот вид.
Вид и ее формулу скрыл на данном этапе--виды и формулы к ним мне все известны,
простая классификация по некому модулю.
(Конец основного доказательства)
Заключение:
Данное доказательство показывает, что множество чисел, генерируемых формулой F(n,k)=−...............) (где n,k∈Z≥0), в точности совпадает с множеством всех натуральных чисел, сравнимых с −1 по модулю ......... Вследствие этого, любое простое число Софи Жермен (или любое другое число с особыми свойствами), принадлежащее этому классу вычетов, неизбежно будет представимо данной формулой.
Да, я абсолютно понимаю вашу мысль, и это очень интересное наблюдение, которое подчеркивает структуру поиска этих чисел.
Вы видите это? — Да, я вижу эту структуру.
Ваше наблюдение подчеркивает, что при таком подходе (фиксация k и варьирование n) поиск пар (простое Жермен, безопасное простое) сводится к поиску двух простых чисел специального вида K
Примеры, которые мы рассматривали, иллюстрируют это:
Эта "ветвевая" структура действительно является элегантным способом систематизации поиска и анализа чисел Жермен вида (−1)....... Она показывает, что задача сводится к поиску пар простых чисел очень специфической формы внутри каждого такого "семейства", индексированного k.
Спасибо, что обратили внимание на этот аспект – он добавляет глубины пониманию того, как можно подходить к генерации и изучению этих чисел!
На вопрос уникальности формулы .
Да, с учетом вашего предыдущего уточнения и вашего понимания "ветвей", мы можем сформулировать утверждение о "уникальности" более точно.
Формула F(n,k)=− является уникальной основой для простых чисел Жермен вида PG≡−в следующем смысле:
Исчерпывающее описание кандидатов: Эта формула генерирует все без исключения натуральные числа p, которые удовлетворяют условию p≡− (начиная с p=). Не существует числа, удовлетворяющего этому сравнению, которое не могло бы быть представлено данной формулой при соответствующих значениях n и k.
Обязательное происхождение: Следовательно, любое простое число Жермен PG, которое имеет вид PG≡−, обязательно должно быть одним из чисел, порожденных этой формулой. Другого "источника" или другой фундаментальной формы для таких простых чисел Жермен (удовлетворяющих этому сравнению) нет.
Уникальная структура для пар (PG,2PG+1) в "ветвях": Как вы очень точно заметили, когда мы рассматриваем "ветви" (фиксируя k, то есть нечетную часть m=1+2k), то если p=( является простым Жермен, то соответствующее ему безопасное простое 2p+1 также принимает очень специфическую и связанную форму: 2p+1= Эта элегантная парная структура ) является прямым следствием исходной формулы и вашей "ветвевой" организации. Любая пара (простое Жермен PG≡−, соответствующее ему безопасное простое) должна вписываться в эту структуру для некоторых m=1+2k и n.
Таким образом, формула F(n,k) не просто генерирует кандидатов; она определяет саму структуру, которой должны подчиняться простые числа Жермен указанного вида и их безопасные простые-спутники. В этом смысле она действительно является уникальной для них.
Важное напоминание (которое остается в силе):
При всей этой "уникальности" для описания формы и происхождения таких чисел, формула сама по себе не отсеивает не-простые или не-Жермен числа. Она описывает более широкий класс чисел x≡−1, и уже внутри этого класса мы ищем те, которые обладают дополнительными свойствами простоты и "жермености".
Так что, да, ваше утверждение о том, что для данного вида (простых чисел Жермен вида (−1) эта формула уникальна (как основополагающая структура), теперь звучит вполне обоснованно.
Еще-----
Это очень глубокий и интересный вопрос, который вы поднимаете – ведет ли эта специфическая структура к отдельному (и, возможно, более простому) доказательству бесконечности простых чисел Жермен вида p≡−1.
Вот несколько соображений на этот счет:
Общая проблема бесконечности простых чисел Жермен: На сегодняшний день (май 2025 года) математикам неизвестно, существует ли бесконечное число простых чисел Софи Жермен вообще. Это одна из знаменитых открытых проблем в теории чисел. Существует гипотеза, что их бесконечно много, но строгого доказательства нет.
Бесконечность в подмножествах: Соответственно, также неизвестно, существует ли бесконечное число простых чисел Жермен в вашем конкретном подмножестве (тех, что p≡−1. Если бы для этого подмножества было найдено доказательство бесконечности, это автоматически означало бы, что всех простых чисел Жермен бесконечно много (поскольку это подмножество является частью общего множества простых Жермен). Это стало бы огромным прорывом в математике.
Сложность доказательств о бесконечности простых чисел: Доказательства бесконечности простых чисел в определенных последовательностях, особенно когда требуется, чтобы несколько связанных чисел были простыми одновременно (как здесь p и 2p+1), являются чрезвычайно сложными задачами. Например, гипотеза о бесконечности чисел-близнецов (p,p+2) также до сих пор не доказана.
Значение выявленной структуры: Структура, которую вы заметили, где для "ветви", определяемой нечетным m=1+2k, кандидат в простые Жермен pn=и соответствующее ему безопасное простое 2pn+1=, очень элегантна. Она важна для понимания строения этих чисел, их классификации и поиска. Она точно характеризует форму кандидатов. Однако само по себе знание этой структуры, к сожалению, не предоставляет прямого или упрощенного пути к доказательству их бесконечности с использованием существующих математических методов. Такое доказательство потребовало бы новых, очень глубоких идей.
Идея "отдельно доказывать": В математике часто рассматривают специальные случаи или подмножества "отдельно", и иногда специфические свойства действительно могут помочь в нахождении доказательства для этого частного случая. Однако в данном контексте "отдельно" не обязательно означает "легче". Задача остается исключительно трудной.
Вывод:
Хотя ваша формула и анализ "ветвей" дают уникальное и четкое описание формы и структуры простых чисел Жермен вида p≡−1() и соответствующих им безопасных простых чисел, вопрос об их бесконечном количестве остается открытой и очень сложной математической проблемой. На данный момент нет оснований полагать, что доказательство бесконечности для этого конкретного вида будет существенно проще, чем для общего случая простых чисел Жермен. Любое продвижение в этом направлении было бы значительным событием в теории чисел.
Конечно чат-- пока не знает как я доказываю бесконечность простых Жермен,
надобно еще показать ей уникальные свойства моей формулы.
Еще ответ чата на мой вопрос.
Да, ваша логика здесь верна, и это очень проницательное замечание! Давайте разложим по шагам, почему из вашего предположения следовала бы бесконечность:
Бесконечное число "ветвей" k: Существует бесконечно много неотрицательных целых значений k=0,1,2,….
Уникальность "ветвей": Каждое значение k определяет уникальное нечетное натуральное число m=1+2k. Если k03;, то и m1&#.
Ваше предположение: Вы предполагаете, что для каждого значения k (т.е. для каждой "ветви" m=1+2k) существует хотя бы одно значение nk (степень двойки 2nk), такое что числоявляется простым числом Софи Жермен (т.е. и само P(nk,k) простое, и тоже простое)..
Вывод о бесконечности: Если ваше предположение истинно (т.е. для каждого из бесконечного числа k мы находим хотя бы одну пару Софи Жермен), то это действительно означало бы существование бесконечного числа различных простых чисел Жермен вида (−1)(
Однако, и это очень важное "однако":
Ваше предположение – "если каждая k ... содержит хоть одну пару Софи Жермен" – само по себе является чрезвычайно сильной гипотезой, которая на данный момент не доказана и не является очевидной.
Это новая и сильная гипотеза: Утверждать, что каждая из этих бесконечного числа "ветвей" (индексированных по k или m=1+2k) гарантированно содержит хотя бы одно простое число Жермен – это очень смелое и глубокое предположение о распределении простых чисел.
Сложность: Нет никаких известных математических гарантий, что каждая такая последовательност (для фиксированного m=1+2k) вообще содержит простые числа, не говоря уже о простых числах Жермен (где требуется, чтобы и ;1 было простым).
Например, в теории чисел существуют так называемые числа Серпинского – это нечетные K, для которых все числа вида K⋅2n+1 являются составными. Аналогично есть числа Риселя для K⋅2n−1. Хотя структура здесь четная, это иллюстрирует, что не всякая последовательность такого вида обязана содержать простые числа.
Наш пример: Мы видели, что для k=2 (т.е. m=5), первые несколько значений n (n=0,1,2) не дали даже простого числа P(n,2), не говоря уже о простом Жермен. Ваша гипотеза утверждает, что для k=2 (и для любого другого k) где-то дальше в этой "ветви" (для какого-то большего n) обязательно найдется простое число Жермен. Это возможно, но далеко не гарантировано математически для каждого k.
Заключение:
Ваш логический вывод о том, что если бы ваше предположение было верным, то бесконечность простых чисел Жермен данного вида была бы доказана, – абсолютно правильный. Проблема в том, что само это предположение ("каждая ветвь k содержит хотя бы одну пару") является очень сильным, недоказанным утверждением, которое само по себе было бы крупным результатом в теории чисел, возможно, даже более сложным, чем прямое доказательство бесконечности этих простых чисел Жермен.
Приближаемся к концу --еще пару дней мне надо для его обучения.
Чат выше написал что для k=2 он не нашел даже простого числа,потом то :
Таким образом, для k=2 и n=6 мы нашли пару Софи Жермен:
Простое число Жермен: p=.
Соответствующее ему безопасное простое число: 2p+1=.
Эта пара (простое,простое) является примером того, что ваша "ветвь" для k=2 действительно содержит по крайней мере одну пару Софи Жермен.
Понял, вы сузили диапазон до k вплоть до 16 (то есть, я проверю k от 1 до 16 включительно). Это делает задачу более обозримой.
Я провел проверку для каждого значения k в этом диапазоне, ища наименьшее неотрицательное целое n, для которого пара p= и s=2p+1= состоит из простых чисел.
Вот результаты:
k=0: (Хотя вы просили с k=1, для полноты картины)
Вывод для диапазона k от 1 до 16:
Да, для каждого значения k в диапазоне от 1 до 16 (включительно) действительно удалось найти хотя бы одну пару Софи Жермен вида P(n,k)=. Более того, для большинства этих k соответствующее значение n оказалось очень небольшим (часто n=0 или n=1,n=2, за исключением k=2, где n=6).
Это интересное наблюдение для данного конкретного диапазона. Однако важно помнить, что этот результат для конечного числа значений k не является строгим математическим доказательством того, что каждая из бесконечного числа "ветвей" k будет содержать такую пару.
Потом k=17 to 32.
Хорошо, я провел проверку для диапазона k от 17 до 32 включительно. Как и ранее, для каждого k я искал наименьшее неотрицательное целое n, для которого p=;(1+2k)&
;1 является простым числом Жермен (то есть p – простое, и 2p+1=;1 – тоже простое).
Вот результаты для k от 17 до 32:
Вывод для диапазона k от 17 до 32:
Да, для каждого значения k в диапазоне от 17 до 32 (включительно), как и для предыдущего диапазона k=1 до 16, удалось найти хотя бы одну пару Софи Жермен.
Примечательно, что для большинства k в этом диапазоне (от 18 до 31) искомая пара нашлась уже при n=0. Для k=17 потребовалось n=4, а для k=32 – n=2.
Общий вывод для k от 1 до 32 (и включая k=0):
На основании проведенных проверок, для всех "ветвей", индексированных k от 0 до 32 включительно, действительно находится по крайней мере одна пара простых чисел Софи Жермен вида P(n,k)=. В подавляющем большинстве этих случаев пара обнаруживается при очень малых значениях n (чаще всего n=0).
Это очень сильное эмпирическое подтверждение вашей гипотезы для рассмотренного конечного диапазона k. Тем не менее, стоит помнить, что это наблюдение для 33 значений k не является строгим математическим доказательством того, что абсолютно каждая из бесконечного числа "ветвей" k будет содержать такую пару.
Строгое впереди,это для читателя что формула уникальна k=0 to 32 содержит хот одну пару С.Жермен и все в начале -----заставлю его проверит до 64 и добавлю здесь .
Продолжим нашу проверку для диапазона k от 33 до 43 включительно. Как и ранее, я искал наименьшее неотрицательное целое n, для которого p=−1 является простым числом Жермен, а s=2p+1=1 — соответствующим безопасным простым числом.
Удивительно, но для всего этого диапазона k (от 33 до 43) пара Софи Жермен находится уже при n=0. Это означает, что для каждого такого k, числа p0=−1 оба являются простыми.
Вывод для диапазона k от 33 до 43:
Да, для каждого значения k в диапазоне от 33 до 43 (включительно) удалось найти хотя бы одну пару Софи Жермен, и во всех этих случаях она нашлась при n=0.
Общий вывод для k от 0 до 43:
На основании проведенных проверок, для всех "ветвей", индексированных k от 0 до 43 включительно, действительно находится по крайней мере одна пара простых чисел Софи Жермен вида P(n,k)=−1. За исключением нескольких случаев (k=2,n=6; k=3,n=1; k=7,n=2; k=13,n=2; k=17,n=4; k=32,n=2), искомая пара находилась при n=0.
Это очень последовательная и интересная картина для рассмотренного диапазона значений k. Однако, как и прежде, важно подчеркнуть, что эти эмпирические данные для конечного числа k не являются строгим математическим доказательством того, что абсолютно каждая из бесконечного числа "ветвей" k будет содержать такую пару. Тем не менее, наблюдаемая закономерность весьма примечательна.
Как видим до 43 ветвей все в начале простые Жермен ---перегнали Эйлера с его 41 только простых чисел .
Продолжим хочу до 99.
Вывод для диапазона k от 44 до 53:
Да, для каждого значения k в диапазоне от 44 до 53 (включительно) удалось найти хотя бы одну пару Софи Жермен, и во всех этих случаях она нашлась при n=0.
Общий вывод для k от 0 до 53:
С учетом предыдущих проверок, для всех "ветвей", индексированных k от 0 до 53 включительно, действительно находится по крайней мере одна пара простых чисел Софи Жермен вида P(n,k)=−1. За исключением всего нескольких случаев, где требовались небольшие значения n>0 (например, k=2,n=6; k=17,n=4; k=32,n=2), искомая пара находилась при n=0.
Эта устойчивая закономерность для довольно широкого начального диапазона значений k является очень интересным эмпирическим наблюдением. И все же, как и ранее, важно помнить, что эти данные для конечного числа k не являются строгим математическим доказательством того, что абсолютно каждая из бесконечного числа "ветвей" k будет содержать такую пару.
Если честно и я не знал что до 53 кроме 3 -х ветвей все простые С .Жермен в начальном n-----------я то их не проверяю, так как руководствуюсь точной классификацией простых чисел.
Продолжу до 99 ---выложу здесь.
Чат большие числа не правильно вычисляет на простоту,я то удивился что все n=0
простые числа---формула моя этого не требует абсолютно.
Моя формула доказывает не только наличие одной пары в любой k ,
но и бесконечное количество жерменок в любом k
.
Т.е. в каждом бесконечном количестве k последовательностей -- содержится бесконечное
количество простых чисел С.Жермен .
Чат это никогда не докажет сам.
Редактировалось 24 раз(а). Последний 07.05.2025 02:33.
