Дана комплексная функция (f(z=x+iy) = u(x,y)+i*v(x,y))...

Вот две подсказки, которые могут помочь.

Подсказка 1. Хорошо известно, как по действительной части голоморфной функции находить её мнимую часть или наоборот (строить сопряжённую гармоническую функцию с помощью условий Коши-Римана).

Естественно возникает вопрос: как превратить модуль и аргумент нашей функции в действительную и мнимую части какой-то вспомогательной функции?

Подсказка 2. Для функции f(z)=rho(z)*exp(i*theta(z)) рассмотреть вспомогательную функцию g(z)=ln(rho(z))+i*theta(z).

мы знаем что |exp(g(z))|=exp(Re g(z)), теперь пусть нам задан |f(z)|, представим f в виде f(z)=exp g(z), и отсюда найдём Re g(z). дальше, как Егор написал в п.1.