Одно свойство пифагоровых троек

Рассматривая пифагоровы тройки, ВТФ или гипотезу Била мы оперируем только степенями чисел и не задумываемся о геометрии и структуре, стоящей за этими степенями. Что такое $2^2$? Многие скажут, что это 4 и будут правы, но некоторые заметят:
-А 4 чего?
-Как чего, что за ерунда? $2^2$- это просто 4, число такое.
- Нет $2^2$ - это 4 единичных квадрата, объединенных в один квадрат со стороной 2.
- Ах, да, верно.
- А как мы определяем, что единичных квадрата именно 4, когда мысленно представляем этот квадрат?
-Ну, мы проводим мысленные границы внутри этого квадрата, которые его разбивают на 4 единичных квадрата.
- А почему же мы не проводим эти мысленные границы и не учитываем их, когда пытаемся работать с пифагоровыми тройками, ВТФ или гипотезой Била?
-Не знаю.

Рассмотрим произвольный квадрат с натуральной стороной. Будем рассматривать его как совокупность единичных квадратов с их границами.
В таком квадрате можно выделить 3 типа вершин:
Вершины первого типа- это вершины по углам большого квадрата. В них сходится по $2$ единичных ребра, а вообще в узлах такой квадратной решетки может сходиться $4$ ребра, т.е. эти угловые вершины выполняют свою функцию по объединению единичных ребер только наполовину, и каждая такая вершина касается одной единичной грани из 4-х возможных для вершины в квадратной решетке, т.е. выполняет функцию по соединению граней на четверть. Таких вершин в квадрате всегда $4$. Теперь запишем для вершин первого типа такую характеристику: $V_1=4(\frac{2}{4}+\frac{1}{4})=3$.

Вершины второго типа располагаются по периметру большого квадрата и характеризуются тем, что каждая из них объединяет по$ 3$ ребра из 4-х возможных и по $2$ грани из 4-х возможных. Таких вершин в квадрате всегда $4(n-1)$, где $n$- сторона квадрата. Характеристика вершин второго типа в квадрате:$V_2=4(n-1)(\frac{3}{4}+\frac{2}{4})=5(n-1)$

Вершины третьего типа лежат внутри квадрата и их количество $(n-1)^2$, а характеризуются они тем, что каждая из них максимально выполняет свою задачу по объединению ребер и граней, т.е. в каждой такой вершине сходятся по 4 единичных ребра из 4-х возможных и по 4 единичных грани и характеристика вершин такого типа в квадрате: $V_3=(n-1)^2(\frac{4}{4}+\frac{4}{4})=2(n-1)^2$.

Но в качестве границ между единичными площадями граней можно выделить и 2 типа ребер:

Единичные ребра первого типа лежат на периметре большого квадрата и их в квадрате $4n$, а характеризуются они тем, что связывают 2 вершины из 2-х возможных и касаются одной грани из 2-х возможных. Характеристика данного типа ребер в квадрате со стороной $n$ будет выглядеть как: $4n(\frac{2}{2}+\frac{1}{2})=6n$

Единичные ребра второго типа лежат внутри квадрата их количество $2(n^2-n)$, а характеризуются они тем, что каждое такое ребро связывает 2 вершины из 2-х возможных и 2 грани из 2-х возможных. И все ребра квадрата данного типа будут характеризоваться величиной $R_1=2(n^2-n)(\frac{2}{2}+\frac{2}{2})=4(n^2-n)$

Ну и еще один тип единичных граней, которых в квадрате $n^2$ штук. Каждая такая грань соединяет по 4 вершины из 4-х возможных и по 4 ребра из 4-х возможных. А значит характеристика граней квадрата равна $n^2(\frac{4}{4}+\frac{4}{4})=2n^2$

Обычный подход при рассмотрении пифагоровых троек - это сложение единичных граней двух квадратов таким образом, чтобы получить третий квадрат, состоящий из единичных квадратов-граней, причем чтобы не осталось лишних таких единичных квадратиков. Если это удалось - тройка пифагорова. Но как мы уже увидели у квадрата гораздо больше характеристик чем грани. У него есть еще 3 типа вершин и 2 типа ребер.

Будем складывать каждую характеристику первого квадрата с такой же характеристикой второго квадрата и смотреть, насколько эта сумма превышает ту же характеристику результирующего квадрата, вычитая из суммы характеристик характеристику результирующего квадрата. Чтобы увидеть закономерности проделаем эту операцию для некоторого множества пифагоровых троек и сведем результат в таблицу:
[img]http://forumimage.ru/thumbs/20210518/162133132871654721.jpg[/img]

Теперь попытаемся найти пифагорову тройку которая по своим характеристикам не уложилась бы в эту таблицу, попытаемся также доказать или опровергнуть утверждение, что все пифагоровы тройки можно распределить в эту таблицу в соответствии с их характеристиками.

Чтобы понять 4 чего находится в числах с показателем 2 рассмотрим выражение:
a2 + b2 = c2
Отнимем от левой и правой части по 1
a2 + b2 - 1 = c2 - 1
И левая и правая часть всегда делится на 4 при любых A, B и C.