Теорема 3, Основы Анализа, Э.Ландау

Цитата
krom
Здравствуйте, участники форума! Начал изучать арифметику и вот уже на 3й теореме у меня возникли трудности.
Э.Ландау, "Основы анализа" 1974, стр. 20 (Теорема 3)
Скриншот с теоремой из книги https://drive.google.com/file/d/1bYGoN1JJxvI3U723XPdEiarXcNqb-GNL/view?usp=sharing

1. Разве не нужно доказывать, что множество "...тех x, для которых существует u, обладающее указанным свойством" непусто?
Ну, например, сказав, что при $u=1, x=1\prime \Rightarrow x = u\prime$
2. В части II), Понимая под u число x, мы получаем $x\prime=u\prime$, но разве не $x\prime=(u\prime)\prime$ ?

1. Доказывать нужно, что $1\inM$, что доказано по определению множества $M$ .
2. Фраза "Понимая под u число x" означает, что u и x - одно и то же, т.е u = x. Следовательно x' = u'.

Здесь используется мат. индукция для доказательства того, что множество натуральных чисел, имеющих предшественника, равно множеству всех нат. чисел больших 1. Для этого рассматривается множество натуральных чисел, имеющих предшественника, объединённое с множеством {1}. Это множество обозначено М. Для искомого результата нужно доказать, что множество М есть множество всех нат чисел.
Как это доказать? Очень просто: а) нужно доказать, что 1 принадлежит М; б) потом для произвольного х принадлежащего М нужно доказать, что х' тоже принадлежит М. Заметьте, никто не собирается обсуждать вопрос: "а что если множество чисел x вообще пусто?", т.к. это никто не требует. Главное, что ежели некий х принадлежит М, то и следующий за ним должен туда же принадлежать. А ежели некий х не принадлежит М? - Нам этот х не интересен, и мы о нём вааще не говорим! И так: пусть некий х сидит в М (не важно какой х, не важно существует ли какой-нибудь - если не существует - так нам же легче: про не существующий объект всё уже доказано. Импликация "А влечёт В" истинна при ложности "А", а доказывать-то нужно именно импликацию, а не заключение). Проблема возникает только в предположении, что А истинно, поэтому только про эту ситуацию мы и рассуждаем:
Посылка: Пусть некий х принадлежит М.. Будем доказывать для этого х, что следующий за ним элемент х' тоже сидит в М. Как это доказать? - по определению: покажем, что он либо равен 1 (увы, это не катит - у х' есть предшественник, а у 1 - нету), либо для х' найдётся какой-нибудь элемент u такой, что u' = x'. И тут мы вскрикиваем: " Нашёл, я его нашёл! - в качестве искомого u мы возьмём элемент х, с которого мы начали, т.е. полагаем u = x ". И это верно, т.к. для элемента u = x равенство u' = x' совершенно очевидно (другая запись: u+1=x+1). Что и требовалось.